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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - E[X-Y] bestimmen
E[X-Y] bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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E[X-Y] bestimmen: Erklärung, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Do 01.07.2010
Autor: kegel53

Aufgabe
Seien X und Y Zufallsvariablen mit P[X=Y]=1.
Ist dann E[X-Y]=0?

Tag Leute,
wieder ne kurze Frage, die mir nicht so ganz 100% klar ist.
P[X=Y]=1 heißt doch, dass X und Y die gleiche Verteilung haben oder was kann ich daraus ableiten??

Dann ist E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0

Kann ich das dann so begründen?

        
Bezug
E[X-Y] bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Do 01.07.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> Dann ist E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0

wer sagt dir überhaupt, dass X und Y einen Erwarungswert besitzen? ;-)
Insofern geht das so nur bedingt.

Beweise es lieber über die Definition des Erwartungswerts, die lautet wie?

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
E[X-Y] bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Do 01.07.2010
Autor: kegel53

Okay also nur damit ichs auch richtig verstanden:
Falls der Erwartunsgwert von X und Y existiert, sagt mir P[X=Y]=1, dass X und Y die gleiche Verteilung haben und mit der Gleichung E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0 bin ich dann fertig, richtig??

Okay wenn ich das ganze über die Definition angehe, dann gilt:

[mm] E[X-Y]=\sum_{k\in{(X-Y)}} k\cdot{}P[X-Y=k]=0\cdot{1}=0 [/mm]

Aber woher weiß ich, dass X und Y diskrete ZV sind?
Und ist auch wirklich das einzige Element aus X-Y gerade 0?
Besten Dank schon mal.

Bezug
                        
Bezug
E[X-Y] bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Do 01.07.2010
Autor: Gonozal_IX


> Okay also nur damit ichs auch richtig verstanden:
>  Falls der Erwartunsgwert von X und Y existiert, sagt mir
> P[X=Y]=1, dass X und Y die gleiche Verteilung haben und mit
> der Gleichung E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0 bin ich dann fertig,
> richtig??

Hm, theoretisch ja, die Gleichung brauchst du aber gar nicht.

> Okay wenn ich das ganze über die Definition angehe, dann
> gilt:
>  
> [mm]E[X-Y]=\sum_{k\in{(X-Y)}} k\cdot{}P[X-Y=k]=0\cdot{1}=0[/mm]

Das ist nur der Spezialfall für diskrete ZV wie du richtig erkannt hast.

Allgemein gilt doch $E[X] = [mm] \integral_{\Omega}Xd\IP$ [/mm]

Wende das mal auf X-Y an und zerlege das Integral in die Mengen [mm] $\{X=Y\}$ [/mm] und [mm] $\{X\not= Y\}$ [/mm]

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
E[X-Y] bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:41 Do 01.07.2010
Autor: kegel53

Okay dann weiß ich Bescheid, vielen Dank euch beiden!!

Bezug
                        
Bezug
E[X-Y] bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Do 01.07.2010
Autor: abakus


> Okay also nur damit ichs auch richtig verstanden:
>  Falls der Erwartunsgwert von X und Y existiert, sagt mir
> P[X=Y]=1, dass X und Y die gleiche Verteilung haben und mit

Hallo,
"die gleiche Verteilung" ist viel zu lasch.
P[X=Y]=1 heißt, dass bei einer beliebigen Durchführung eines Zufallsexperiments das Ereignis, dass die beiden Zufallsgrößen X und Y "zufällig" den gleichen Wert annehmen, die Wahrscheinlichkeit 1 hat und somit ein sicheres Ereignis ist.
Somit ist es sicher, dass die Differenz der Werte X und Y Null ist

> der Gleichung E[X-Y]=E[X]-E[Y]=0 bin ich dann fertig,
> richtig??
>  
> Okay wenn ich das ganze über die Definition angehe, dann
> gilt:
>  
> [mm]E[X-Y]=\sum_{k\in{(X-Y)}} k\cdot{}P[X-Y=k]=0\cdot{1}=0[/mm]
>  
> Aber woher weiß ich, dass X und Y diskrete ZV sind?
>  Und ist auch wirklich das einzige Element aus X-Y gerade
> 0?
>  Besten Dank schon mal.


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