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Hallo,
wenn die Frage lautet: Bestimme eine Gleichung der Ebene, die die Gerade g enthält und einen möglichst großen abstand von einen gegebenen Punkt hat.
Wie gehe ich da allgemein vor?
Aufpunkt der Ebene ist ja in der Geradengleichung und der erste Richtungsvektor auch, aber wie bekomme ich den zweiten Ricvhtungsvektor und wie verarbeite ich die Information, dass ein möglichst großer Abstand von dem Punkt P enthalten ist?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Do 09.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> wenn die Frage lautet: Bestimme eine Gleichung der Ebene,
> die die Gerade g enthält und einen möglichst großen abstand
> von einen gegebenen Punkt hat.
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> Wie gehe ich da allgemein vor?
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> Aufpunkt der Ebene ist ja in der Geradengleichung und der
> erste Richtungsvektor auch, aber wie bekomme ich den
> zweiten Ricvhtungsvektor und wie verarbeite ich die
> Information, dass ein möglichst großer Abstand von dem
> Punkt P enthalten ist?
Du hast vergessen, die Ebenen und Geradengleichungen anzugeben.
Aber wenn bekannt ist
[mm] $$g:\;\;\; \vec{x}=\vec{p}+r*\vec{v}\;\;(r \in \IR)\,,$$
[/mm]
d.h. [mm] $\vec{p}$ [/mm] ist Aufpunkt und [mm] $\vec{v} \not= \vec{0}$ [/mm] ist Richtungsvektor der gegebenen Geraden, so weißt Du sicherlich, dass sich Ebenen, die [mm] $g\,$ [/mm] enthalten, schreiben lassen als
[mm] $$E:\;\;\; \vec{x}=\vec{p}+s*\vec{v}+t*\vec{w}\;\;(s,t \in \IR)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $\vec{v},\;\vec{w}$ [/mm] linear unabhängig sind.
Ist nun mit [mm] $\vec{q}\,$ [/mm] der Punkt gegeben, von dem die gesuchte Ebene [mm] $\tilde{E}\,$ [/mm] maximalen Abstand haben soll, so solltest Du die Ebene in die ![[]](/images/popup.gif) Hessesche Normalform überführen. Oben ist [mm] $\vec{v}$ [/mm] fest, und z.B. mit dem Kreuzprodukt läßt sich so ein Normalenvekor [mm] $\vec{n}=\vec{n}_{\vec{w}}$ [/mm] berechnen, welcher sich mittels [mm] $\vec{n}_0:=\vec{n}/\|\vec{n}\|$ [/mm] zu einem Normaleneinheitsvektor umschreiben läßt. Das hilft Dir bei der Abstandsberechnung des Punktes, gegeben durch [mm] $\vec{q}\,,$ [/mm] zur Ebene [mm] $E=E_{\vec{w}}\,.$ [/mm]
Zu guter letzt hast Du also für jede Ebene [mm] $E=E_{\vec{w}}\,,$ [/mm] die die Gerade [mm] $g\,$ [/mm] enthälst, somit eine Formel für den Abstand des gegebenen Punktes, gegeben durch [mm] $\vec{q}\,,$ [/mm] zu [mm] $E=E_{\vec{w}}\,,$ [/mm] es verbleibt nun nur noch ein 'Maximierungsproblem'.
P.S.:
Anstatt [mm] $E=E_{\vec{w}}$ [/mm] in der Parameterform zu schreiben und das danach erst in die Hessesche Normalenform zu bringen, kannst Du auch anders starten - bzw. das folgende ist günstiger, weil man 'ohne einen zweiten Richtungsvektor [mm] $\vec{w}$, [/mm] den man eh nur für den Normalen(einheits)vektor benötigt', sofort mit der Hesseschen Normalenform loszulegen:
Da Du weißt, dass $E$ die Gerade [mm] $g\,$ [/mm] enthalten soll, weißt Du auch, dass die Schar aller Ebenen [mm] $E=E_{\vec{n}_0}\,,$ [/mm] die [mm] $g\,$ [/mm] enthalten, sich in der Hesseschen Normalform schreiben lassen als
[mm] $$E:\;\;\; (\vec{x}-\vec{p})\bullet \vec{n}_0=0\,.$$
[/mm]
(Dabei bezeichne [mm] $\bullet$ [/mm] das euklidische Skalarprodukt.)
Hierbei ist Dir bekannt, dass [mm] $\vec{n}_0 \bullet \vec{v}=0$ [/mm] (da [mm] $\vec{n}_0 \perp \vec{v}$ [/mm] gelten muss, wenn [mm] $E\,$ [/mm] die Gerade [mm] $g\,$ [/mm] enthält), sowie dass [mm] $\|\vec{n}_0\|=1$ [/mm] gelten muss.
Gruß,
Marcel
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vielen, vielen Dank!
Nur wie löse ich das Maximierungsproblem am Ende?
Danke!
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Hallo learningboy,
> vielen, vielen Dank!
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> Nur wie löse ich das Maximierungsproblem am Ende?
Definiere die Gerade
[mm]h: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{q}+\lambda*\overrightarrow{n}[/mm]
[mm]E: \left(\vec{x}-\vec{p}\right)\bullet \vec{n}=0[/mm]
Schneide nun E mit h, daraus folgt [mm]\lambda=\bruch{\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\right)\bullet \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n} \bullet \overrightarrow{n}}[/mm]
Treffen wir nun die Vereinbarung, daß
[mm]\left(1\right) \ \overrightarrow{n} \bullet \overrightarrow{n}=1[/mm]
Dann folgt
[mm]d=\vmat{\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}+\lamba*\overrightarrow{n}}=\wurzel{\left(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right)\bullet\left(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right)-\left( \ \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\right)\bullet \overrightarrow{n}\ \right)^{2}}[/mm]
Der Abstand d wird maximal, wenn
[mm] \left(2\right) \ \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\right)\bullet \overrightarrow{n}=0[/mm]
Zu guter letzt hast Du noch die Bedingung
[mm]\left(3\right) \ \overrightarrow{v} \bullet \overrightarrow{n}=0[/mm]
Durch die Gleichungen (1), (2) und (3)
kann nun der Normalenvktor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] bestimmt werden.
Damit ergibt sich auch der zweite Richtungsvektor [mm]\overrightarrow{w}[/mm].
>
> Danke!
Gruß
MathePower
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was ist das euklidische Skalarprodukt? Das ganz normale?
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> was ist das euklidische Skalarprodukt? Das ganz normale?
Hallo,
ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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