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| Aufgabe | Gegebn ist die Ebene E: [mm] x=\vektor{3 \\4\\7}+r\vektor{1 \\0\\1}+s\vektor{4 \\7\\2}
[/mm]
Geben sie eine Gerade g an, die
a) die Ebene E schneidet
b) zur Ebene E parallel ist und nicht in E liegt
c) in der Ebene liegt |
Hallo alle miteinander,
ja ich bin shcon wieder da und ich glaube ich werde jede Woche hier auftauchen.
Unsere Lehrerin macht mal wieder Gruppenarbeit und lässt die Schüler das Thema erklären, welche es selber nciht verstehen. Das kann ja nichs werden.
Naja wir haben mal wieder was neues Angefangen und ich versteh das Grundprinzip noch ncihtmal.
Selbst die leichtesten Aufgaben sind somit total schwer.
Also ich hoffe ihr helft mir wieder. Gruß Sabrina
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> Gegebn ist die Ebene E: [mm]x=\vektor{3 \\4\\7}+r\vektor{1 \\0\\1}+s\vektor{4 \\7\\2}[/mm]
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> Geben sie eine Gerade g an, die
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> a) die Ebene E schneidet
> b) zur Ebene E parallel ist und nicht in E liegt
> c) in der Ebene liegt
> Hallo alle miteinander,
> ja ich bin shcon wieder da und ich glaube ich werde jede
> Woche hier auftauchen.
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> Unsere Lehrerin macht mal wieder Gruppenarbeit und lässt
> die Schüler das Thema erklären, welche es selber nciht
> verstehen. Das kann ja nichs werden.
> Naja wir haben mal wieder was neues Angefangen und ich
> versteh das Grundprinzip noch ncihtmal.
> Selbst die leichtesten Aufgaben sind somit total schwer.
> Also ich hoffe ihr helft mir wieder. Gruß Sabrina
Ich kann versuchen, dir Ansätze zu liefern.
Das schöne an der Vektorrechnung ist doch, dass man sich alles vorstellen und vor allem auch bildlich aufmalen kann, zumindest, was in der Schule behandelt wird. Ihr habt also eine Ebene. Eine Ebene kannst du dir wie eine Tischplatte vorstellen, nur unendlich dünn. Diese Ebene wird in der Parameterform durch einen Punkt, z.B. die Ecke deines Tisches, und zwei RICHTUNGSVEKTOREN, z.B. die beiden Außenkanten deines Tisches, eindeutig beschrieben.
E: [mm]x=\vektor{3 \\4\\7}+r\vektor{1 \\0\\1}+s\vektor{4 \\7\\2}[/mm]
Dein Aufpunkt ist der erste Vektor [mm] \vektor{3 \\4\\7}, [/mm] die Richtungsvektoren sind die anderen beiden, weil sie eine skalare Größe, also eine Zahl, DAVOR stehen haben, soweit alles klar? Du hast also deinen Punkt P(3/4/7) und von dem gehen zwei Geraden sozusagen bis ins unendliche. Die eine Gerade ist [mm] r\vektor{1 \\0\\1}, [/mm] also geht es vom Punkt P immer in diese Richtung, eine Einheit in die x- und eine in die z-Richtung. Die andere Gerade ist [mm] s\vektor{4 \\7\\2} [/mm] und verläuft eben vom Punkt P aus nach vonre und hinten in die Richtung, die durch den Vektor bestimmt wird. Wenn du jetzt eine Gerade erstellen sollst, die diese Ebene schneidet, musst du dir nur überlegen, was das für den Richtungsvektor der Geraden bedeutet.
Eine Gerade ist so definiert: $ [mm] g:\vec x=\vec p+r*\vec [/mm] u $
P ist ein sogenannter Ortsvektor oder auch Aufpunkt ,also der Startpunkt deiner Geraden, im Grunde ein beliebiger Punkt, der AUF dieser Geraden liegt und u ist der klassische Richtungsvektor, in diesen läuft die Gerade.
Test: Wie lautet die Gleichung der x- und y-Achse? Nun, einen Punkt zu finden ist einfach, wir nehmen den Ursprung O(0/0), denn den haben beide gemeinsam. Dann brauchen wir einen Richtungsvektor, nun die x-Achse geht immer in die x-Richtung ,also kannst du den vektor [mm] \vektor{1\\0} [/mm] nehmen ,aber auch [mm] \vektor{2\\0} [/mm] oder [mm] \vektor{3\\0}, [/mm] das ost VÖLLIG egal, zumindest für die Richtung, denn die ist immer die selbe. Also gilt für die x-Achse [mm] g_x:\vec x=\vektor{0\\0}+r*\vektor{1\\0}
[/mm]
und für y analog: [mm] g_y:\vec x=\vektor{0\\0}+s*\vektor{0\\1}
[/mm]
So jetzt zu unserer Ebene. Wir brauchen also einen Richtungsvektor, der sozusagen durch die Ebene geht. Eine GErade besteht aus einem Punkt und einer Richtung, also eine Punkt kannst du dir ja aus E heraussuchen, es geht aber auch JEDEr beliebige Punkt. Wichtiger ist der Richtungsvektor, denn jetzt gilt es zu überlegen: Was muss gelten, damit g NICHT parallel zu E ist, sondern E schneidet. Nun, es muss doch gelten, dass der Richtungsvektor nicht identisch oder parallel mit den Richtungsvektoren der Ebene sein darf. Nimm dir den Punkt der Ebene, also [mm] \vektor{3 \\4\\7}, [/mm] ruhig erstmal für deine GErade und denke jetzt: Was passiert, wenn du als Richtungsvektor einen der Richtungsvektoren der Ebene E nimmst? Natürlich würde deine Gerade dann GENAU in der Ebene und parallel dazu verlaufen, denn du hast ja 1:1 einen Teil der Ebenengleichung übernommen! Du willst aber eine Gerade g, die E schneidet, also nimmst du einen Vetkor, der eben NICHT den beiden der Ebene E gleicht. So einfach. Und jetzt kannst du auch die b. Denn damit eine GErade parallel zu E verläuft, muss sie in die GLEICHE RICHTUNG verlaufen und die Richtung wird angegeben durch ? - richtig!- die Richtungsvektoren, also nimmst du einen beliebigen Punkt und EINEN der Richtungsvektoren der Ebene und du hast eine parallele Gerade. Nun und c schaffst du alleine
PS: Ich schlage dir das sehr gute Buch von Dörsam vor: ![[]](/images/popup.gif) http://www.amazon.de/Oberstufenmathematik-leicht-gemacht-Band-Analytische/dp/3867072647/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1255360274&sr=8-1
Lineare Algebra, also Matrizen UND Vekttorrechnung. Die ersten Kapitel überspringen, wenn du damit nichts anfangen kannst, dann kommt eine wunderbar langsame und ausführliche Behandlung der gesamten Vektorrechnung
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| Aufgabe | Untersuchen sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von g und E. Bestimmen sie gegebenfalls den Durchstoßpunkt.
a) g: [mm] x=\vektor{-2 \\1\\4}+t\vektor{7 \\8\\6}
[/mm]
E: [mm] x=\vektor{1\\4\\3}+r\vektor{0 \\-1\\1}+s\vektor{1 \\0\\3} [/mm] |
Wow, vielen Dank für diese ausführliche Eklärung, das hat mich um einiges schlauer gemacht.
Und danke für den Link, ich wer ihn sogleich anschauen.
Kann ich gleich die nächste Frage stellen?
Um die gemeinsamen Punkte zu bekommen, muss ich die Gleichung und die Ebene gleichsetzen oder läuft das über die Normalform und wenn ja wie?
Sabrina
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabrina!
Setze die beiden Funktionsvorschriften gleich und löse das entstehende Gleichungssystem.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | g: [mm] x=\vektor{-2 \\1\\4}+t\vektor{7 \\8\\6} [/mm]
E: [mm] x=\vektor{1\\4\\3}+r\vektor{0 \\-1\\1}+s\vektor{1 \\0\\3} [/mm]
[mm] \vektor{-2 \\1\\4}+t\vektor{7 \\8\\6}=\vektor{1\\4\\3}+r\vektor{0 \\-1\\1}+s\vektor{1 \\0\\3}
[/mm]
1) 7t -s =3
2) 8t+r =3
3) 6t-r-3s=-1
2) r=3-8t in 3)
1) 7t -s =3
2) 8t+r =3
--> 3) 14t-3s=2
1)-3)// 1)*2
1) 7t -s =3
2) 8t+r =3
3) s=4
3) in 1)
t=1 ---> r=3/8 |
So hab es gleichgesetzt und ausgerechnet.
Und was sagt ir das jetzt?
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Also bei mir kommt dann für den Schnittpunkt:
[mm] \vektor{5 \\ 9\\10}
[/mm]
ist das nun der Durchstoßpunkt oder sidnd as die gemeinsamen Punkte?
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Wirklich? Ich dachte das wäre jeweils was anderes.
Dankeshcön Loddar
schönen Abend noch
Sabrina
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Also, das heißt ich kann für
a) g: [mm] x=\vektor{0\\0\\0}+t\vektor{4 \\6\\3}
[/mm]
b) g: [mm] x=\vektor{3\\6\\8}+t\vektor{4 \\7\\2}
[/mm]
c) g: [mm] x=\vektor{3\\4\\7}+t\vektor{1 \\0\\1}
[/mm]
nehmen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabrina!
Was rechnest Du hier? Wie lautet denn die Aufgabenstellung für welche Ebenen / Geraden?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
diese Geradengleichungen sind der Versuch einer Lösung (meiner seits) zu der zuerst gestellten Aufgabe.
Grüße Sabrina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabrina!
Alle 3 sind ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Gruß
Loddar
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Juhu, das ist toll.
Danke^^
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du Dich wohl verrechnet. Ich erhalte: $r \ = \ -5$ .
