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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Di 17.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Sei eine Orthogonalbasis in [mm] \IR^{3} [/mm] gegeben.
(i) Wie lautet die Hessesche Normalform der durch [mm] \bruch{x_{1}}{2}=0 [/mm] gegebenen Ebene ?
(ii) man gebe eine parameterdarstellung dieser Ebene an. |
Also umrechnen von H. Normalenform zur Parameterform ist kein ding aber ich versteh nicht ganz wie [mm] \bruch{x_{1}}{2}=0 [/mm] eine Ebene beschreiben kann.
Könnte mir da einer helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist $ [mm] \bruch{x_{1}}{2}=0 \gdw x_1 [/mm] = 0$
Nun mal Dir mal ein 3-dim. Achsenkreuz und überlege Dir, wo die Punkte [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] liegen für die [mm] x_1 [/mm] = 0 ist !
Na ? Diese Punkte liegen alle in der ?-?-Ebene !
FRED
P.S. Eine Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] hat die Gleichung
[mm] $ax_1+bx_2+cx_3=d$
[/mm]
In Deiner Aufgabe ist $a=1$ und $b=c=d=0$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Dann müssten alle Punkte [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] mit x{1}=0 in der yz-Ebene liegen oder ?
Alos wär die Parameterform E: [mm] \vec{x} =\vektor{0 \\ 1 \\2} [/mm] + [mm] s*(\vektor{0 \\ 3\\2} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1\\2}) [/mm] + [mm] t*(\vektor{0 \\ 7\\3} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1\\2})
[/mm]
Dann ist E : [mm] \vec{x} =\vektor{0 \\ 1 \\2} [/mm] + [mm] s*\vektor{ 0\\ 2\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 6\\1}
[/mm]
Und dann bilde ich das Vektorprodukt der Richtungsvektoren :
[mm] \vektor{0 \\ 2\\0} [/mm] X [mm] \vektor{0 \\ 6\\1} [/mm] = [mm] \vektor{2\\ 0\\0} [/mm] = [mm] \vec{n}
[/mm]
[mm] \bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{2\\ 0\\0}}{\wurzel{2^{2}+0^{2}+0^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vektor{2\\ 0\\0} [/mm] = [mm] \vec{n_{0}}
[/mm]
Dann habe ich auch schon die Hess. Normalenform :
E: [mm] \bruch{1}{2} \vektor{2\\ 0\\0} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = d
hab ich das soweit richtig ????
Und ich wollt fragen ob es auch einen weg gebe zu erst auf die Hess. Normalenform zu schließen und erst dann auf die parameter form ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Do 19.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Dann müssten alle Punkte [mm](x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] mit x{1}=0 in
> der yz-Ebene liegen oder ?
So ist es.
>
> Alos wär die Parameterform E: [mm]\vec{x} =\vektor{0 \\ 1 \\2}[/mm]
> + [mm]s*(\vektor{0 \\ 3\\2}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 1\\2})[/mm] +
> [mm]t*(\vektor{0 \\ 7\\3}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 1\\2})[/mm]
>
> Dann ist E : [mm]\vec{x} =\vektor{0 \\ 1 \\2}[/mm] + [mm]s*\vektor{ 0\\ 2\\0}[/mm]
> + [mm]t*\vektor{0 \\ 6\\1}[/mm]
>
> Und dann bilde ich das Vektorprodukt der Richtungsvektoren
> :
>
> [mm]\vektor{0 \\ 2\\0}[/mm] X [mm]\vektor{0 \\ 6\\1}[/mm] = [mm]\vektor{2\\ 0\\0}[/mm]
> = [mm]\vec{n}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|}[/mm] = [mm]\bruch{\vektor{2\\ 0\\0}}{\wurzel{2^{2}+0^{2}+0^{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \vektor{2\\ 0\\0}[/mm] = [mm]\vec{n_{0}}[/mm]
>
Auch korrekt, du kannst aber [mm] \bruch{1}{2} \vektor{2\\ 0\\0} [/mm] noch zu [mm] \vec{n_{0}}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] zusammenfassen.
>
> Dann habe ich auch schon die Hess. Normalenform :
>
> E: [mm]\bruch{1}{2} \vektor{2\\ 0\\0}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] = d
Fast. Du brauchst noch einen konkreten Wert für d
>
>
> hab ich das soweit richtig ????
>
> Und ich wollt fragen ob es auch einen weg gebe zu erst auf
> die Hess. Normalenform zu schließen und erst dann auf die
> parameter form ?
Man kann. Aber wozu willst du, wenn du die Ebene in Koordinaten- oder Normalenform hast, noch die Parameterform bestimmen? Zum konkreten Berechnen sind beide anderen Formen geeigneter.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ayame |
stimmt [mm] \bruch{1}{2} \vektor{2 \\ 0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] hab ich glatt übersehen :) Danke
Ach mir ist grad was aufgefallen :
E: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1\\2}) [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] = 0
jetzt will ich d ausklammern. Aber d=0
Ist das schlimm ?
E: [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 19.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> stimmt [mm]\bruch{1}{2} \vektor{2 \\ 0\\0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0\\0}[/mm]
> hab ich glatt übersehen :) Danke
>
> Ach mir ist grad was aufgefallen :
>
> E: [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 1\\2})[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0\\0}[/mm] = 0
So ists korrekt
>
> jetzt will ich d ausklammern.
Diese Aussage verstehe ich gerade nicht.
> Aber d=0
> Ist das schlimm ?
Nöö, 0 ist ein durchaus zugelassener Wert für d
>
> E: [mm]\vektor{1 \\ 0\\0}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] = 0
Das sieht gut aus.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 19.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Super Danke :)
Ich dachte schon ich hätte was versemmelt wegen d=0
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