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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Nach dem Klingeln hat unser Mathelehrer noch gesagt, dass wir auch Winkel können müssen.
Dabei haben wir das noch nicht besprochen, die Aufgabe wird dann wahrscheinlich auch als Zusatzaufgabe gewertet werden.
Dennoch möchte ich mich darauf ein bisschen vorbereiten.
Wie die Winkel entstehen, dass ist mir klar, jedoch nicht, wie ich mit ihnen rechnen muss und was sie bedeuten.
Kann mir dafür jemand eine Einstiegsaufgabe nennen, die ich bearbeiten kann?
Mir fehlen da einfach die Zusammenhänge, deswegen möchte ich mich in das Thema einarbeiten.
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo Sarah,
Nehmen wir mal an wir haben eine Gerade und eine Ebene gegeben. Um den Winkel zu berechnen müssen sich ja Gerade oder Ebene logischerweise treffen. Also zunächst berechne den Normalenvektor der Ebene. Dann lautet die Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zw Gerade und Ebene [mm] \\sin(\alpha)=\bruch{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot\\|\vec{n}|}.
[/mm]
Achja. Und wie du Länge eines Vektors berechnest das weisst du? Ich glaube das solltet ihr gemacht haben. Wenn nicht dann melden.
Hier eine Aufgabe die gerechnet werden will.
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 4 \\ 9}+t\cdot\vektor{1 \\ 2 \\ 1}und E:3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=7
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:29 Do 22.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Sarah.
> Hey Tyskie ,
>
> Ein erneutes Dankeschön für deine Antwort, jedoch habe ich
> noch ein paar Fragen:
>
> > ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") gut wollte es nur erwähnen
>
> Das sollte auch nur zeigen, dass ich ein gaanz kleines
> bisschen vorher wusste *gg*
>
> > Damit macht man das. Habt ihr vielleicht schon den Winkel
> > zwischen zwei Vektoren berechnet? Wenn ja dann kannst du
> > dir die Formel herleiten wenn du bedenkst dass
> > [mm]\\cos(90°-\alpha)=sin(\alpha).[/mm]
>
> Nee, haben wir noch nicht, aber ich werde es mir merken!
>
> > Nicht schlimm. Also die Länge eines Vektors
> > [mm]\vec{x}=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] berechnet sich wie
> > folgt:
> > [mm]|\vec{x}|=\wurzel{(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}+(x_{3})^{2}}.[/mm]
> > > > Hier eine Aufgabe die gerechnet werden will.
>
> Nein, das haben wir auch nicht gemacht. In meinen
> Aufzeichnungen finde ich keine einzige Rechnung dazu.
>
> > ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Warum? Ohh ich hab nicht erwähnt dass [mm]\vec{u}[/mm]
> > der Richtingsvektor der Geraden ist.
> > > [mm]\vec{u}=\vektor{0 \\ 2 \\ 5}[/mm] und [mm]\vec{v}=\vektor{2 \\ 0 \\ 5}[/mm]
>
> Also ist mein Richtungsvektor [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> > Es ist dann [mm]\sin(\alpha)=\bruch{|\vektor{1 \\ 2 \\ 1}\cdot\vektor{3 \\ 5 \\ -2}|}{|\vektor{1 \\ 2 \\ 1}|\cdot\\|\vektor{3 \\ 5 \\ -2}|}[/mm]
>
> Das verstehe ich.
>
> > Im Zähler rechne ich einfach das Skalarprodukt der beiden
> > Vektoren aus und im Nenner jeweils die Längen der beiden
> > Vektoren.
>
> Der Zähler ergibt 3.
Fehler ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das Skalarprodukt ist nicht 3, sondern 11. Rechne noch mal nach.
>
> Lautet dann der Nenner
>
> [mm]|\wurzel{1^{2}+2^{2}+1^{2}}|*|\wurzel{3^{2}+5^{2}+(-2)^{2}}|[/mm]
>
> =|4|*|6| ?
Du hast die Zahlen unter der Wurzel einfach addiert ohne zu beachten, dass diese ja vorher quadriert werden müssen.
Und dann lautet es, na?
>
> Ist ja falsch, weil ich keine Zahl zwischen 0-1 raus
> bekomme.
Kann ja nur falsch sein. 
> Wie wende ich dann eigentlich den Sinus an?
Du bekommst zum Schluss [mm] \sin(\alpha) [/mm] = b Das stellst du nach [mm] \alpha [/mm] um und bekommst [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{\sin} [/mm] = [mm] \sin^{-1} [/mm] * b
Die [mm] \sin^{-1} [/mm] Taste hast du ja auf dem Taschenrechner.
Und noch ne Kleinigkeit, die ganzen Formeln, die Tyskie dir gegeben hat, stehen auch mit knappen Erklärungen im Tafelwerk. Schau einfach mal rein, ist echt hilfreich.
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
>
Mfg Aram
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Hi Sarah,
Erst quadrieren dann Wurzel ziehen.
Also wir haben [mm] \wurzel{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\wurzel{1+4+1}=\wurzel{6}
[/mm]
Du machst den entscheidenen Fehler dass du denkst dass sich die Wurzel mit dem Quadrat weghebt. WIr haben in der wurzel eine Summe da hebt es sich nicht weg. Denn es ist [mm] 1^{2}+2^{2}+1^{2}\not=(1+2+1)^{2}
[/mm]
Dagegen kann man hier [mm] \wurzel{1^{2}\cdot\\2^{2}\cdot\\1^{2}}=\wurzel{(1\cdot\\2\cdot\\1)^{2}}=\wurzel{(2)^{2}} [/mm] die Wurzel mit dem Quadrat "wegkürzen". Also ergibt das hier [mm] \\2.
[/mm]
Gruß
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Hallo Tyksie ,
Würde das hier mein Mathelehrer lesen, dann würde der mich zurück in die 8. Klasse schicken...
Also, ich habe jetzt [mm] \bruch{11}{\wurzel{180}} [/mm] raus.
Muss ich dann im Zähler und im Nenner die Betragsstriche beibehalten?
Und dann verstehe ich das weitere vorgehen nicht.
> [mm] \sin(\alpha)= [/mm] b Das stellst du nach [mm] \alpha [/mm] um und
> bekommst [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{\sin} [/mm] = [mm] \sin^{-1} [/mm] * b
> Die [mm] \sin^{-1} [/mm] Taste hast du ja auf dem Taschenrechner.
Ist [mm] b=\bruch{11}{\wurzel{180}}?
[/mm]
Ich bekomme dann [mm] \alpha=0,014 [/mm] raus... Sieht falsch aus!
Liebe Grüße,
Sarah
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Hi Sarah,
> Hallo Tyksie ,
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> Würde das hier mein Mathelehrer lesen, dann würde der mich
> zurück in die 8. Klasse schicken...
>
> Also, ich habe jetzt [mm]\bruch{11}{\wurzel{180}}[/mm] raus.
>
Leider . Im Nenner musste [mm] \wurzel{6}\cdot\wurzel{38} [/mm] stehen. Der Zähler ist korrekt.
> Muss ich dann im Zähler und im Nenner die Betragsstriche
> beibehalten?
>
Im Nenner fallen diese ja gewissermaßen weg weil wir ja damit die Länge der Vektoren berechnet haben und wir keine negative Länge haben können. Im Zähler brauchst du sie ja auch da 11 eine positive Zahl ist
> Und dann verstehe ich das weitere vorgehen nicht.
>
> > [mm]\sin(\alpha)=[/mm] b Das stellst du nach [mm]\alpha[/mm] um und
> > bekommst [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{b}{\sin}[/mm] = [mm]\sin^{-1}[/mm] * b
> > Die [mm]\sin^{-1}[/mm] Taste hast du ja auf dem Taschenrechner.
>
> Ist [mm]b=\bruch{11}{\wurzel{180}}?[/mm]
>
Also wenn du richtig rechnest solltest du [mm] \bruch{11}{\wurzel{6}\cdot\wurzel{38}}=\bruch{11}{2\cdot\wurzel{57}} [/mm] herausbekommen. Dass ergibt [mm] \approx [/mm] 0,72849. So jetzt hast du [mm] sin(\alpha)\approx [/mm] 0,72849. Nun interssiert uns das [mm] \alpha. [/mm] Auf deinem Taschenrechner muss eine Taste sein mit [mm] \\sin^{-1}. [/mm] Dort drauf drücken und dann [mm] \alpha=\\sin^{-1}(0,72489)\approx [/mm] 46,46°
> Ich bekomme dann [mm]\alpha=0,014[/mm] raus... Sieht falsch aus!
>
ja leider. siehe oben.
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Do 22.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
[mm] $$\wurzel{6}*\wurzel{38} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{6*38} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{228} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{4*57} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{4}*\wurzel{57} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{57}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Do 22.05.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi Sarah,
ich wollte dir nochmal erklären, woher die Formel kommt:
Stelle dir zwei Geraden vor, die sich schneiden. Dann ist ja der Schnittwinkel der Winkel, den die beiden Geraden einschließen. Das ist dann genau der Winkel, den die Richtungsvektoren einschließen (Stell dir das anhand von zwei Stiften vor).
Dann kann man zeigen, dass man das Skalarprodukt auch darstellen kann als:
[mm] $\vec{a}\circ\vec{b}=|\vec{a}|\circ|\vec{b}|*\cos\phi$, [/mm] wobei [mm] \phi [/mm] der von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] eingeschlossene Winkel ist. Stell man die Formel um, so erhält man (fast) die Winkelformel aus der Formelsammlung. Einziger Unterschied ist es, dass dort noch ein Betrag um das Skalarprodukt steht. Der steht da, da man ja unter einem Schnittwinkel immer den Winkel haben will, der zwischen 0 und 90° liegt. Wählt man den Betrag des Skalarproduktes, so schränkt man automatisch den Cosinus auf Winkel zw. 0 und 90° ein, so dass man immer den "kleineren" Winkel bekommt. Mache dir das auch am besten klar mit zwei Stiften, dass man beim Schneiden von Geraden immer zwei Winkel bekommt, und man immer den kleineren der beiden wählt.
Warum jetzt aber bei dem Schneiden von Gerade und Ebene ein Sinus steht, hat dir Tyskie ja schon erklärt, denn man berechnet den Schnittwinkel von Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden, man will aber den Winkel zw. Gerade und Ebene haben. Deshalb muss man vom Winkel Normalenvektor-Richtungsvektor 90° Abziehen, wo man dann beim Sinus wäre.
Warum die erste Formel mit dem Skalarprodukt gilt, kann man folgendermaßen erklären:
Das Skalarprodukt ist ja als [mm] $\vec{a}\circ\vec{b}=a_1*b_1+a_2*b_2+a_3*b_3$ [/mm] definiert, wobei [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] die Komponenten des Vektors a und b sind. Man kann jetzt zeigen, dass das Skalarprodukt, wie es oben steht, gegenüber Drehungen invariant ist. Dann kann man sein Koordiantensystem drehen, und das Skalarprodukt ist immer noch das selbe. Wenn man es jetzt so dreht, dass die neue x-Achse in Richtung von a zeigt, und dann die neuen Koordinaten wählt, dann kommt gerade das [mm] $|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos\phi$ [/mm] heraus....Aber das nur am Rande =) Das wird euch wohl niemand fragen. Wichtig ist nur die obige Erklärung, weil euer Lehrer dann evtl. fragen könnte, warum die "Formel" denn genau so ausschaut, wie sie ausschaut.
Beste Grüße,
Kroni
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