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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mi 19.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Es sei V = [mm] P_2 [/mm] = < 1, x, [mm] x^2 [/mm] >
Ermittle die Gleichung der Ebene [mm] \varepsilon(p_0, p_1, p_2) [/mm] mit [mm] p_0 [/mm] = 2 - x, [mm] p_1 [/mm] = 1 - [mm] x^2, p_2 [/mm] = 2 - x + [mm] x^2 [/mm] in Parameterform, homogener Parameterdarstellung und in parameterfreien Form. |
Hallo!
Crosspost: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=112630
Zu Parameterfreien Form:
[mm] \varepsilon= \overrightarrow{0P} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{PR}
[/mm]
Nun die Polynomdarstellung beachten
Mein Ursprungspunkt sei [mm] p_0.
[/mm]
[mm] \varepsilon: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0} [/mm] + r * [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0}) [/mm] + s( [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ -1 \\0} [/mm] )
= [mm] \vektor{2\\-1\\0} [/mm] + [mm] r\vektor{-1\\1\\-1} [/mm] + s [mm] \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Soweit so gut.
Nun die Parameterform:
[mm] \varepsilon: [/mm] ax + by + cz = d
Das geht einfach mittels Determinante
[mm] \vmat{x&y&z&1 \\ 2&-1&0&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 2&-1&1&1} [/mm] = 0
a = [mm] \vmat{-1&0&1 \\ 0&-1&1 \\ 2&1&1} [/mm] = 1
b = - [mm] \vmat{2&0&1 \\ 1&-1&1 \\ 2&1&1} [/mm] = 1
c = [mm] \vmat{2&-1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&-1&1} [/mm] = 0
d = - [mm] \vmat{2,&-1&0 \\ 1&0&-1 \\ 2&-1&1} [/mm] = -1
also
[mm] \varepsilon: [/mm] 1x + 1y + 0z = -1
auch hier soweit so gut
nun die Frage, was ist eine homogene parameterdarstellung??
Ich denke mir es hat was mit affinen Räumen zu tun, aber ich kenne mich damit absolut nicht aus :(
lg
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Hallo uniklu,
> Es sei V = [mm]P_2[/mm] = < 1, x, [mm]x^2[/mm] >
> Ermittle die Gleichung der Ebene [mm]\varepsilon(p_0, p_1, p_2)[/mm]
> mit [mm]p_0[/mm] = 2 - x, [mm]p_1[/mm] = 1 - [mm]x^2, p_2[/mm] = 2 - x + [mm]x^2[/mm] in
> Parameterform, homogener Parameterdarstellung und in
> parameterfreien Form.
>
> Hallo!
>
> Crosspost:
> http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=112630
>
>
> Zu Parameterfreien Form:
>
> [mm]\varepsilon= \overrightarrow{0P}[/mm] + r * [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm]
> + s * [mm]\overrightarrow{PR}[/mm]
> Nun die Polynomdarstellung beachten
> Mein Ursprungspunkt sei [mm]p_0.[/mm]
>
> [mm]\varepsilon: \overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm] + r
> * [mm](\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 0})[/mm] + s(
> [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ -1 \\0}[/mm] )
> = [mm]\vektor{2\\-1\\0}[/mm] + [mm]r\vektor{-1\\1\\-1}[/mm] + s
> [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> Soweit so gut.
>
> Nun die Parameterform:
> [mm]\varepsilon:[/mm] ax + by + cz = d
> Das geht einfach mittels Determinante
> [mm]\vmat{x&y&z&1 \\ 2&-1&0&1 \\ 1&0&-1&1 \\ 2&-1&1&1}[/mm] = 0
> a = [mm]\vmat{-1&0&1 \\ 0&-1&1 \\ 2&1&1}[/mm] = 1
> b = - [mm]\vmat{2&0&1 \\ 1&-1&1 \\ 2&1&1}[/mm] = 1
> c = [mm]\vmat{2&-1&1 \\ 1&0&1 \\ 2&-1&1}[/mm] = 0
> d = - [mm]\vmat{2,&-1&0 \\ 1&0&-1 \\ 2&-1&1}[/mm] = -1
>
> also
> [mm]\varepsilon:[/mm] 1x + 1y + 0z = -1
>
> auch hier soweit so gut
>
> nun die Frage, was ist eine homogene
> parameterdarstellung??
> Ich denke mir es hat was mit affinen Räumen zu tun, aber
> ich kenne mich damit absolut nicht aus :(
Nun, schreibe die Parametergleichung der Ebene [mm]\varepsilon[/mm] so um, daß
[mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+r*\overrightarrow{b}+s*\overrightarrow{c}=\lambda_{1}*\overrightarrow{x_{1}}+\lambda_{2}*\overrightarrow{x_{2}}+\lambda_{3}*\overrightarrow{x_{3}}[/mm]
wobei [mm]\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1[/mm]
und [mm]\overrightarrow{x_{1}}, \ \overrightarrow{x_{2}}, \ \overrightarrow{x_{3}}[/mm] linear unabhängig sind.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Lineare Algebra II
Gruß
MathePower
>
> lg
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