Ebene E_1 senkrecht auf E_2 < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Marion_ |
| Aufgabe | Zeige, dass [mm] E_1 [/mm] senkrecht auf [mm] E_2 [/mm] steht.
[mm] E_1 [/mm] geht durch A(1/1/6), B(2/-2/-2), C(3/0/0)
[mm] E_2 [/mm] hat die Spurpunkte [mm] S_1(6/0/0), S_2(0/12/0), S_3(0/0/-6) [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen, aber irgendwo muss ein Fehler drin sein. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Danke.
Marion.
Mein Lösungsansatz:
[mm] E_1:[/mm] [mm]\vec x[/mm]= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} 2-1 \\-2-1 \\ 2-6\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 3-1 \\ 0-1 \\ 0-6 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_1=[/mm] [mm]\vec x[/mm]= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] +s [mm] \begin{pmatrix} 1 \\-3 \\ -4\end{pmatrix} [/mm] +t [mm] \begin{pmatrix} 2 \\-1 \\-6\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_2=x_1/6+x_2/2-x_3/6=1
[/mm]
durchmultiplizieren mit 12
[mm] E_2= 2x_1+x_2-2x_3=12
[/mm]
[mm] E_2 [/mm] umwandeln in Parameterdarstellung:
--> [mm] x_2=s; x_3=t
[/mm]
[mm] E_2:[/mm] [mm]\vec x[/mm]= [mm] \begin{pmatrix}6 \\0 \\ 0\end{pmatrix}+ [/mm] s [mm] \begin{pmatrix} -1/2 \\1 \\ 0\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 1\end{pmatrix}
[/mm]
Normalengleichung von [mm] E_1 [/mm] mit Determinante:
beliebiger 3. Vektor: [mm]\vec e[/mm]= [mm] \begin{pmatrix}e_1 \\e_2 \\ e_3\end{pmatrix}
[/mm]
Determinante:
1 2 [mm] e_1 [/mm] 1 2
-3 -1 [mm] e_2 [/mm] -3 -1
-4 -6 [mm] e_3 [/mm] -4 -6
[mm] -1e_3-8e_2+18e_1-4e_1+6e_2+6e_3=0
[/mm]
= [mm] 14e_1-2e_2+5e_3=0
[/mm]
--> Normalenvektor [mm]\vec n_1[/mm]= [mm] \begin{pmatrix}14 \\-2 \\ 5\end{pmatrix}
[/mm]
Normalenvektor von [mm] E_2 [/mm] mit Determinante:
3. beliebiger Vektor [mm]\vec v[/mm]= [mm] \begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\ v_3\end{pmatrix}
[/mm]
Determinante:
-1/2 1 [mm] v_1 [/mm] -1/2 1
1 0 [mm] v_2 [/mm] 1 0
0 1 [mm] v_3 [/mm] 0 1
[mm] =v_1+1/2v_2-v_3=0
[/mm]
[mm]\vec n_2[/mm]= [mm] \begin{pmatrix}1 \\1/2 \\ -1\end{pmatrix}
[/mm]
senkrecht--> Skalarprodukt=0
[mm] \begin{pmatrix}1 \\1/2 \\ -1\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}14 \\-2 \\ 5\end{pmatrix} [/mm] = 8,
also nicht senkrecht, aber es muss laut Aufgabenstellung senkrecht zueinander sein.
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Momentan sind über 60 Formeln in der Warteschlange, daher kann ich hier nichts lesen...
Aber mal ne andere Frage:
Du hast die Parameterdarstellung der ersten Ebene quasi gegeben
Und die Normalengleichung der zweiten Ebene hast du auch.
wenn die beiden Ebenen senkrecht stehen, sollte doch der Normalenvektor von E2 in der durch die Richtungsvektoren von E1 aufgespannten Ebene liegen.
Mit anderen Worten: Ist N = a*R+b*S lösbar? (N: Normalenvektor, R,S: Richtungsvektoren, a,b: reelle zahlen) Dann sind die beiden senkrecht.
Ich denke, das ist einfacher...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Marion_ |
Hallo Sebastian,
Die Parameterdarstellung und die Normalengleichungen habe ich selbst bestimmt, es waren ja nur die Punkte gegeben, durch die die Ebene [mm] E_1 [/mm] durchgehen sollte und die Spurpunkte für die Ebene [mm] E_2. [/mm]
Ich habe auf jeden Fall dann angenommen, dass die 2 Normalenvektoren auch zueinander senkrecht sind und versucht, so die Aufgabe zu lösen. Hat nicht ganz geklappt.
Ich probiere aber auch einmal deinen Ansatz, danke.
Gruß,
Marion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Marion_ |
Hi Sebastian,
eine kleine Frage noch: Was für reele Zahlen soll ich denn für a und b verwenden?
Wenn man sie einfach so als Variablen stehen lässt, kommt man ja irgendwie auch nicht viel weiter.
Danke und Gruß,
Marion.
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Naja, viele Wege führen nach Rom. Manche sind nur steiniger als andere.
Natürlich kannst du beide Normalenvektoren berechnen, um zu prüfen, ob die senkrecht zueinander stehen. Aber wie du selbst gemerkt hast, ist das langwierig und Fehlerträchtig.
Ich meinte folgendes: Wenn die beiden Ebenen senkrecht zueinander stehen, dann ist doch der Normalenvektor parallel zu der anderen Ebene. Das heißt aber auch, daß dieser Normalenvektor und die Richtungsvektoren der anderen Ebene in einer Ebene liegen. Also mußt der Normalenvektor durch die beiden Richtungsvektor darstellbar sein, und das bedeutet, daß das Gleichungssystem
[mm] $\vec [/mm] n=a [mm] \vec [/mm] r + b [mm] \vec [/mm] s$
Lösungen für a und b haben muß. Gibt es keine Lösung, sind die Graden eben nicht senkrecht zueinander.
Also, letztendlich ist das ein Gleichungssystem mit drei Zeilen und zwei Unbekannten. Nimm dir die ersten beiden Zeilen, und finde daraus eine Lösung für a und b.
Setze das in die dritte Gleichung ein. Ist die Gleichung gültig? Wenn ja, hast du die Orthogonalität bewiesen!
Ich meine, dieser Weg ist sehr viel effizienter als deine Determinanten und so.
Die drei Vektoren liest du einfach ab, um dann ein 2D Gleichungssystem zu lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Marion_ |
Ach ja,
das hier sollten Determinanten sein. Hat wohl nicht so ganz geklappt.
Marion.
$ [mm] \begin{vmatrix} 1 & 2 & e_1 & 1 & 2 \\ -3 & -1 & e_2 & -3 & -1 -4 & -6 & e_3 & -4 & -6 \end{vmatrix} [/mm] $
$ [mm] -1e_3-8e_2+18e_1-4e_1+6e_2+6e_3=0 [/mm] $
= $ [mm] 14e_1-2e_2+5e_3=0 [/mm] $
--> Normalenvektor $ [mm] \vec n_1 [/mm] $= $ [mm] \begin{pmatrix}14 \\-2 \\ 5\end{pmatrix} [/mm] $
Normalenvektor von $ [mm] E_2 [/mm] $ mit Determinante:
3. beliebiger Vektor $ [mm] \vec [/mm] v $= $ [mm] \begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\ v_3\end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] \begin{vmatrix} -1/2 & 1 & v_1 & -1/2 & 1 \\ 1 & 0 & v_2 & 1 & 0 0 & 1 & v_3 & 0 & 1 \end{vmatrix} [/mm] $
Nachtrag:
Ich habe gerade eben die Darstellung korrigiert :).
Gruß und Danke,
Marion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 14.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Marion,
ich habe das jetzt nicht bis zu Ende durchgerechnet, aber du hast bereits am Anfang einen Vorzeichenfehler:
> Zeige, dass [mm]E_1[/mm] senkrecht auf [mm]E_2[/mm] steht.
> [mm]E_1[/mm] geht durch A(1/1/6), B(2/-2/-2), C(3/0/0)
>
> [mm]E_2[/mm] hat die Spurpunkte [mm]S_1(6/0/0), S_2(0/12/0), S_3(0/0/-6)[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen, aber irgendwo
> muss ein Fehler drin sein. Über Hilfe würde ich mich sehr
> freuen. Danke.
> Marion.
>
> Mein Lösungsansatz:
> [mm]E_1:[/mm] [mm]\vec x[/mm]= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] +
> s [mm]\begin{pmatrix} 2-1 \\-2-1 \\ \red{-}2-6\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 3-1 \\ 0-1 \\ 0-6 \end{pmatrix}[/mm]
Ansonsten ist das Vorgehen über den Normalenvektor der Ebenen ein richtiger Weg.
Liebe Grüße
Herby
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