Ebene und Gerade < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Do 29.09.2011 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend,
ich hab da ein kleines Problem:
Bei meiner Aufgabenstellung heißt es "Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte auf g, deren Abstand von der Ebene 5 beträgt.
Wie geht man an sowas ran? Ich weiß, wie ich den Abstand berechne...aber den Abstand hab ich ja schon gegeben und nun muss ich auf die Koordinaten kommen...
Bringt mir die Aufstellung der Koordinatendarstellung was?
Könnte mir bitte jemand eine Tipp oder eine Erlärung geben??:/
lg zitrone
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Hallo,
> Ich weiß, wie ich den Abstand berechne...
mach das und setze den Ausdruck den du erhältst gleich dem gegebenen Abstand.
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Do 29.09.2011 | | Autor: | zitrone |
super, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Do 29.09.2011 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend noch einmal!
Ich habs nun gemacht, aber irgendwie komm ich nicht weiter.
Also was ich aufgestellt habe, sieht wie folgt aus:
[mm] \bruch{2x+y+2z+20}{3} [/mm] = 5
Ich hab 3 Unbekannte, aber nur eine Gleichung...Wie geht man da ran??://
LG zitrone
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Hallo zitrone,
die Aufgabe macht nur Sinn, wenn die Gerade die Ebene schneidet, also weder in der Ebene noch parallel zu einer Geraden in der Ebene liegt. Dann aber gibt es genau zwei Punkte, die die Bedingung erfüllen.
> Also was ich aufgestellt habe, sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\bruch{2x+y+2z+20}{3}[/mm] = 5
>
> Ich hab 3 Unbekannte, aber nur eine Gleichung...Wie geht
> man da ran??://
Gar nicht. Das ist eine Ebenengleichung. Wo ist die Gerade?
Vielleicht postest Du doch mal die ganzen Informationen der Aufgabe.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Fr 30.09.2011 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend reverend!
Also die Gerade lautet g: [mm] \vec{x}=\vektor{11 \\ -7 \\5}+k\vektor{3 \\ -1 \\ 5}
[/mm]
Ebene E: 2x+y+2z+20=0
Aufgabe a:
Zeigen sie, dass g die Ebene schneidet und bestimmen sie die Koordinaten des Schnittpunktes.
Da hab ich einfach die einzelnen Punkte von g(also (11+3k)(-7-k)(5+5k)) genommen und in E eingesetzt.
Mein Ergebnis ist -3. Diese -3 hab ich für k in die Gerade eingesetzt und hatte dann die Punkte (2|-4|-10) .
Aufgabe b ging ja dann um den Abstand.
Nur , wie gesagt, ich komm nicht weiter...
LG zitrone
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Hallo nochmal,
danke für die Daten. 
> Also die Gerade lautet g: [mm]\vec{x}=\vektor{11 \\
-7 \\
5}+k\vektor{3 \\
-1 \\
5}[/mm]
>
> Ebene E: 2x+y+2z+20=0
>
> Aufgabe a:
> Zeigen sie, dass g die Ebene schneidet und bestimmen sie
> die Koordinaten des Schnittpunktes.
>
>
> Da hab ich einfach die einzelnen Punkte von g(also
> (11+3k)(-7-k)(5+5k)) genommen und in E eingesetzt.
> Mein Ergebnis ist -3. Diese -3 hab ich für k in die
> Gerade eingesetzt und hatte dann die Punkte (2|-4|-10) .
Wieso Plural? Es ist doch nur einer, und ganz richtig bestimmt.
> Aufgabe b ging ja dann um den Abstand.
> Nur , wie gesagt, ich komm nicht weiter...
Ich frage mich, wie Du da auf die Gleichung von vorhin gekommen bist.
Du könntest die Darstellung der Ebene in eine Hessesche Normalform umwandeln, dann kannst Du den Abstand eines beliebigen Punktes leicht ablesen. Wenn Du darein eben einen beliebigen Punkt der Gerade (also noch parameterbehaftet) einsetzt, bekommst Du Deine zwei Lösungen recht einfach.
Wie ist denn die ![[]](/images/popup.gif) HNF Deiner Ebene? Kommst du damit weiter?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Fr 30.09.2011 | | Autor: | zitrone |
Danke fuer die Hilfe reverend!:)
Ich hab die Darstellung der Ebene in eine Hessesche Normalform umwandeln!>
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] |\vec{n} [/mm] | = [mm] \wurzel{2^2+1^2+2^2} [/mm] = [mm] \wurzel{9}
[/mm]
[mm] Also>\bruch{2x+y+2z+20}{3}
[/mm]
wie kann ich jetzt da was ablesen??
LG zitrone
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Hallo nochmal,
> Ich hab die Darstellung der Ebene in eine Hessesche
> Normalform
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> [mm]|\vec{n}[/mm] | = [mm]\wurzel{2^2+1^2+2^2}[/mm] = [mm]\wurzel{9}[/mm]
>
> [mm]Also>\bruch{2x+y+2z+20}{3}[/mm]
Hier fehlt noch die Aussage =0. Ansonsten: richtig. Anders geschrieben: [mm] \bruch{1}{3}\vektor{2\\1\\2}\vec{x}-\bruch{20}{3}=0
[/mm]
Wenn ich jetzt z.B. [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] einsetze, dann stimmt die Gleichung nicht. Ich könnte aber die Gleichung etwas allgemeiner fassen:
[mm] \bruch{1}{3}\vektor{2\\1\\2}\vec{x}-\bruch{20}{3}=d
[/mm]
Mit [mm] \vec{x}=\vec{0} [/mm] bekäme ich dann [mm] d=-\bruch{20}{3}, [/mm] und in der Tat ist [mm] |d|=\bruch{20}{3} [/mm] der Abstand der Ebene vom Ursprung, oder umgekehrt.
Das gilt auch für jeden anderen Funkt. So ist [mm] \vec{x_1}=\vektor{6\\3\\3} [/mm] offenbar nur [mm] \tfrac{1}{3} [/mm] von der Ebene entfernt.
Setze nun also einen allgemeinen Punkt Deiner Geraden in die HNF als [mm] \vec{x} [/mm] ein.
Grüße
reverend
> wie kann ich jetzt da was ablesen??
>
> LG zitrone
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