Ebenen aus Gerade und Punkt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Do 24.03.2005 | | Autor: | Phoney |
Hi,
zur Zeit befinde ich mich noch am Anfang von der Welt der Ebenen:
Eine Ebene E ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt. Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an.
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
P (5|-5|3)
Wie erstelle ich nun die Ebenengleichung?
Also der Geradengleichung könnte man ja so übernehmen + den zweiten Richtungsvektor, den ich berechne durch [mm] \vec{OP}- [/mm] Ortsvektor
also [mm] \vektor{5 \\ -5 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
=> [mm] E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}+ s\vektor{4 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
1. Ist das richtig so?
2. Würd es auch gehen, wenn ich aus der Geradengleichung zwei Punkte mache?
Einmal nehme ich den Ortsvektor [mm] P_{1}(1|0|1) [/mm] als Punkt und addiere zum Ortsvektor den Richtungsvektor, damit ich noch einen Punkt bekomme [mm] P_{2}(3|1|4)
[/mm]
[mm] P_{3}(5|-5|3)
[/mm]
Und daraus die Ebenengleichung ermitteln?
Verständnisfragen:
In meinem Buch steht eine Aufgabe:
Geben sie die Koordinaten eines Punktes P und die Parametergleichung einer Geraden g an, die eindeutig eine Ebene E festlegen. Bestimmen sie eine Parametergleichung von dieser Ebene E.
3. Ist eine Parametergleichung einer Geraden die Geradengleichung? Im obigen Beispiel wäre die Parametergleichung
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Oder was ist sonst eine Parametergleichung?
danke
mfG Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Johann
> Hi,
> zur Zeit befinde ich mich noch am Anfang von der Welt der
> Ebenen:
>
> Eine Ebene E ist durch den Punkt P und die Gerade g
> eindeutig bestimmt. Geben Sie eine Parametergleichung der
> Ebene E an.
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + t [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
>
> P (5|-5|3)
>
> Wie erstelle ich nun die Ebenengleichung?
> Also der Geradengleichung könnte man ja so übernehmen +
> den zweiten Richtungsvektor, den ich berechne durch
> [mm]\vec{OP}-[/mm] Ortsvektor
>
> also [mm]\vektor{5 \\ -5 \\ 3}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
>
> => [mm]E:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + t [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}+ s\vektor{4 \\ -5 \\ 2}
[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
>
> 1. Ist das richtig so?
> 2. Würd es auch gehen, wenn ich aus der Geradengleichung
> zwei Punkte mache?
> Einmal nehme ich den Ortsvektor [mm]P_{1}(1|0|1)[/mm] als Punkt
> und addiere zum Ortsvektor den Richtungsvektor, damit ich
> noch einen Punkt bekomme [mm]P_{2}(3|1|4)
[/mm]
> [mm]P_{3}(5|-5|3)
[/mm]
> Und daraus die Ebenengleichung ermitteln?
>
Ja, das würde auch gehen! Hier hast du einfach für t den Wert 1 genommen. Du hättest auch einen anderen, beliebigen Wert nehmen dürfen, einfach nicht 0, weil du dann nicht 2 verschiedene Punkte der Geraden erwischt hättest.
>
>
> Verständnisfragen:
> In meinem Buch steht eine Aufgabe:
> Geben sie die Koordinaten eines Punktes P und die
> Parametergleichung einer Geraden g an, die eindeutig eine
> Ebene E festlegen. Bestimmen sie eine Parametergleichung
> von dieser Ebene E.
>
> 3. Ist eine Parametergleichung einer Geraden die
> Geradengleichung? Im obigen Beispiel wäre die
> Parametergleichung
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + t [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
>
> Oder was ist sonst eine Parametergleichung?
>
Ja, genau das ist eine Parametergleichung. Der Parameter ist hier t, und man denkt sich, dass t alle reellen Werte annehmen darf. Wenn du dir vorstellst, t beginne irgendwo und schreite dann mit konstanter Geschwindigkeit fort, dann siehst du den Punkt, mit ein Wenig Vorstellungskraft, auf der Geraden spazieren.
Im Dreidimensionalen kannst du eie Gerade nur als Parametergleichung angeben. Im Zweidimensionalen aber nicht.
Dort kann eine Gerade als Parametergleichung angegeben werden, zum Beispiel so:
$g: [mm] \vektor{2\\1}+t*\vektor{2\\-1}$
[/mm]
Das entspräche der Koordinatengleichung
[mm] $y=2-\bruch{x}{2}$
[/mm]
Ebenso kann die Ebene im Dreidimensionalen mit einer Parametergleichung (es braucht dann halt 2 Parameter, für jeden Richtungsvektor einen) oder mit einer Koordinatengleichung beschrieben werden.
Mti lieben Grüssen
Paul
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