Ebenen in Normalenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Gerit |
Hi!
Ich habe ein Problem mit den Folgenden Ebenen in Normalenform!
E1: [mm] x_{1}-2x_{3}=-4
[/mm]
E2: [mm] x_{2}+2x_{3}=4
[/mm]
Wenn ich das ganze über das Kreuzprodukt löse, bekomme ich eine andere Lösung heraus, als wenn ich eine der beiden, z.B. die 2., in Parameterform umwandel und das dann durch einsetzten berechne! Ist das möglich/normal?
Es geht um die Schnittgerade!
Ich habe einmal drei Punkte [mm] (\vektor{0 \\ 0 \\ 2}\vektor{0 \\ 2 \\ 1}\vektor{0 \\ -2 \\ 3}) [/mm] aus der Ebene2 genommen und mit der 3-Punktform die Parameterform [mm] (\vec{r}=\vektor{0 \\ 0 \\ 2}+\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 1}) [/mm] bestimmt! Diese habe ich dann in die Normalenform [mm] \vec{r}*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}=-4 [/mm] eingesetzt, umgestellt und nochmals eingesetzt. So komme ich auf einen Richtungsvektor und einen Ortsvektor. Wenn ich aber das Kreuzprodukt der Beiden Normalenvektoren bilde komme ich auf einen anderen Richtungsvektor!
lg Gerit
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 29.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi!
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> Ich habe ein Problem mit den Folgenden Ebenen in
> Normalenform!
>
> E1: [mm]x_{1}-2x_{3}=-4[/mm]
> E2: [mm]x_{2}+2x_{3}=4[/mm]
>
> Wenn ich das ganze über das Kreuzprodukt löse, bekomme ich
> eine andere Lösung heraus, als wenn ich eine der beiden,
> z.B. die 2., in Parameterform umwandel und das dann durch
> einsetzten berechne! Ist das möglich/normal?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo Gerit,
wir würden dir ja gern helfen. Allerdings solltest du dazu erst einmal die Problemstellung und deinen eigenen Lösungsansatz nennen.
Was ist überhaupt gesucht? Der Winkel zwischen den Ebenen? Die Schnittgerade? Etwas anderes?
Viele Grüße
Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Gerit,
> Ich habe ein Problem mit den Folgenden Ebenen in
> Normalenform!
>
> E1: [mm]x_{1}-2x_{3}=-4[/mm]
> E2: [mm]x_{2}+2x_{3}=4[/mm]
>
> Wenn ich das ganze über das Kreuzprodukt löse, bekomme ich
> eine andere Lösung heraus, als wenn ich eine der beiden,
> z.B. die 2., in Parameterform umwandel und das dann durch
> einsetzten berechne! Ist das möglich/normal?
Zunächst einmal wäre natürlich interessant zu wissen,
was du lösen möchtest?
Ich gehe einmal davon aus, dass du die Lösungsmenge von [mm] E1 \wedge E2 [/mm] bestimmen willst.
Nun weiß ich aber nicht, wozu man hier ein Kreuzprodukt braucht.
Auch weiß ich nicht mit welchen Vektoren du ein Kreuzprodukt bilden willst.
Wenn du uns zeigst was du gemacht hast können wir auch sagen ob es richtig ist, oder wo dein Fehler liegt.
So nun noch zwei Methoden mit denen du die Schnittgerade der beiden Ebenen bestimmen kannst.
1. Möglichkeit:
Bestimme zwei Punkte der Schnittgeraden. (Also suche zwei Punkte welche beide Gleichungen erfüllen). Bilde die Gerade durch die zwei Punkte.
2. Möglichkeit:
Löse das Gleichungssystem indem du eine Variable [mm] (x_3 [/mm] bietet sich an) frei wählst und gleich t setzt. Die beiden anderen Variablen stellst du als Abhängigkeit von t dar. Du erhälst drei Gleichungen, welche du zu einer Parametergleichung der Schnittgeraden zusammenfassen kannst.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Gerit,
zunächst einmal solltest du beim nächsten mal,
neue Informationen in eine neue Frage schreiben.
Denn damit erhälst du wieder Aufmerksamkeit im Forum.
> Es geht um die Schnittgerade!
>
> Ich habe einmal drei Punkte [mm](\vektor{0 \\ 0 \\ 2}\vektor{0 \\ 2 \\ 1}\vektor{0 \\ -2 \\ 3})[/mm]
> aus der Ebene2 genommen und mit der 3-Punktform die
> Parameterform [mm](\vec{r}=\vektor{0 \\ 0 \\ 2}+\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 1})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") du hast zwei linear abhängige Richtungsvektoren.
Das bedeutet, dass deine drei gesuchten Punkte leider auf einer Geraden lagen. Um die Ebene zu beschreiben brauchst du drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen.
> bestimmt! Diese habe ich dann in die Normalenform
> [mm]\vec{r}*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}=-4[/mm] eingesetzt, umgestellt und
> nochmals eingesetzt. So komme ich auf einen Richtungsvektor
Es tut mir leid, aber das verstehe ich jetzt nicht.
Meinst du so?:
[mm](\vektor{0 \\ 0 \\ 2}+\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 1}))*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}=-4[/mm]
> und einen Ortsvektor. Wenn ich aber das Kreuzprodukt der
> Beiden Normalenvektoren bilde komme ich auf einen anderen
> Richtungsvektor!
Hmm .... also zunächst einmal kann ja die selbe Gerade durch verschiedene (linearabhängige) Richtungsvektoren beschrieben werden.
Überprüfe doch mal ob deine Richtungsvektoren linearabhängig sind!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Gerit |
> Es tut mir leid, aber das verstehe ich jetzt nicht.
> Meinst du so?:
> [mm](\vektor{0 \\ 0 \\ 2}+\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 1}))*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}=-4[/mm]
Ja! Ich meine genau das wie du es gezeigt hast. Das ganze dann nach [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] umstellen und wieder in die Parameterform einsetzen. Ich bekomme einmal den Richtungsvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und den Vektor [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1} [/mm] raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Gerit,
> > [mm](\vektor{0 \\ 0 \\ 2}+\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 1}))*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}=-4[/mm]
>
> Ja! Ich meine genau das wie du es gezeigt hast. Das ganze
> dann nach [mm]\lambda[/mm] oder [mm]\mu[/mm] umstellen und wieder
Ich habe gerade den Fehler gefunden:
[mm]r=\vektor{0 \\ 0 \\ 2}+\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{0 \\ -2 \\ 1})[/mm]
Ist keine Parameterform der Ebene E2, weil du zwei linear abhängige Richtungsvektoren hast! Das heißt die drei Punkte, welche du dir am Anfang gesucht hast, lagen dummerweise auf einer Geraden.
Deswegen kannst du damit nicht die Ebene E2 beschreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Andi |
> Parameterform einsetzen. Ich bekomme einmal den
> Richtungsvektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] und den Vektor
> [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm] raus.
ich bekomme auch den Richtungsvektor [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Gerit,
ich hab es jetzt mal mit einer richtigen Parameterform der Ebene E2
durchgerechnet:
[mm](\vektor{0 \\ 0 \\ 2}+\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}))*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}=-4[/mm]
[mm]-4+2\lambda+(-1)\mu=-4 \gdw \mu=2*\lambda[/mm]
Das ergibt den richtigen Richtungsvektor:[mm]
\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+\mu*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}=\lambda*\vektor{0 \\ 2 \\ -1}+2*\lambda*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}=\lambda*\vektor{2 \\ -2 \\ 1}[/mm]
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