Ebenen und Abstand < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich brauche unbedingt Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe.
Gegeben: M(5/4/-1) und D(7/8/-5),
die Ebene: [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0 und
die Gerade [mm] g:x=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; [/mm]
t ist eine Element R
Die Ebene [mm] E_1 [/mm] enthält die Gerade g und den Punkt D. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von [mm] E_1. [/mm] Zeigen Sie, daß die Ebene E und [mm] E_1 [/mm] parallel sind, und bestimmen Sie ihren Abstand.
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich schon versucht zu lösen, die Koordinatengleichung lautet: [mm] E_1: [/mm] -2x + 2y + 1z = -3.
Es wäre sehr schön, wenn mir jemand dieses Ergebniss bestätigen könnte und die Aufgabe beenden könnte.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Parallelität prüfen kann!
Vielen Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 20.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zu deiner Ebenengleichung:
Diese ist leider falsch.
Du weist ja, dass E1 die Gerade g beinhalten soll und den Punkt D beinhaltet.
Dann hast du schonmal einen Richtungsvektor für deine Ebene. Den zweiten Richtungsvektor bekommst du, indem du einen Vektor bildest, der vom Stützvektor zum Punkt D zeigt.
Dann kannst du mit Hilfe des Kreuzproduktes die Ebene in Normalenform umschreiben.
Nun stell dir mal zwei Ebenen vor, die parallel zueinander sind.
Diese hast du in der Normalenform. Was ist dann mit den beiden Normalenvektoren, wenn die Ebenen parallel sind?
Slaín,
Kroni
|
|
|
| |
|
Hey, danke erstmal!
Ich habe jetzt versucht, deine Anweisung zu befolgen.
Demnacht lautet meine Ebnengleichung:
[mm] E_1: \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] +r [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] +r [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}.
[/mm]
Aus den beiden Richtungsvektoren bilde ich nun das Kreuzprodukt und dann lautet mein Normalenvektor: [mm] \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix}???
[/mm]
Dann müsste meine Koordinatengleichung 12x+6y+12z=72 lauten?
Richtig?
Sollte das richtig sein, wie verfahre ich dann weiter? Hast du eine Idee?
Danke nochmal!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Di 20.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hey, danke erstmal!
>
> Ich habe jetzt versucht, deine Anweisung zu befolgen.
> Demnacht lautet meine Ebnengleichung:
> [mm]E_1: \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] +r
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] +r
> [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}.[/mm]
> Aus den
> beiden Richtungsvektoren bilde ich nun das Kreuzprodukt und
> dann lautet mein Normalenvektor: [mm]\begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix}???[/mm]
>
> Dann müsste meine Koordinatengleichung 12x+6y+12z=72
> lauten?
> Richtig?
richtig! Nun durch 12 teilen : 2x+y+2z = 12
Die Ebenen sind parallel wenn ihre Normalvektoren linear abhängig sind: [mm] \overrightarrow{n_{1}} [/mm] = [mm] k*\overrightarrow{n_{2}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Die Normalvektoren sind gleich [mm] \Rightarrow [/mm] linear abhängig [mm] \Rightarrow [/mm] die Ebenen sind parallel
Um die Abstand zu berechnen nimm einen beliebigen Punkt auf einer Ebene und benutze die Abstand Punkt-Ebene Formel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Di 20.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
noch eine alternative Überlegung:
Man denke sich zwei parallele Ebenen.
Nun bilde man die Hesse'sche Normalenform (d.h. mit dem Normierten Richtungsvektor).
Dann hat diese die Form
[mm] \vec{n0}*\vec{x} [/mm] - d=0
wobei d>0.
Dann gibt d den Abstand zwischen dem Ursprung und der Ebene an. [mm] \vec{n0} [/mm] zeigt dann vom Ursprung zur Ebene hin.
Nun mache man das selbe mit der zweiten Ebene, und bilde die Differenz. So erhält man den Abstand zweier parallelen Ebenen.
Die Formel "Punkt-Ebene" bzw. ich habe mir diese Formel "Punkt-Ebene" mit Hilfe der Überlegung Abstand zweier parallelen Ebenen hergeleitet, enthält natürlich diese Rechnung, nur meine Meinung ist, dass es noch besser ist, wenn man sich die Form der Formel selbst herleiten kann.
Viele Grüße,
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Di 20.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Ja, klar! :)
Nach welchen Verfahren bei solchen schulischen Aufgaben berechnet wird, ist in jedem Fall abhängig davon, welche Methoden hat man schon im Unterricht behandelt.
Diese Aufgabe kann auch anders gelöst werden.
Man bildet die Gleichung einer Gerade, die orthogonal zu beiden Ebenen ist.
Dann findet man die Schnittpunkte dieser Gerade mit beiden Ebenen und berechnet den Abstand zwischen zwei Punkte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Di 20.03.2007 | | Autor: | Lady-Blond |
Danke für deine Mühe, aber mit der Hess`schen Normalform kann ich nichts anfangen, da unsere Lehrerin das mit uns nicht gemacht hat. Sie meint das muss nur der Leistungskurs könne. Sie gibt uns immer die Form vor mit der ich bis hierhin gearbeitet habe!
Aber mein Problem ist immer noch, dass ich nichts mit den 3 xen in der vorgegebenen Ebene anfangen kann, mit der ich die [mm] Ebene_1 [/mm] vergleichen soll.
Ein anderes Mitglied des Forums hat mir das mit der Parallelität auch ganz gut erklärt, nachdem du mir geschrieben hast wie ich die Koordinatengleichung bilde war es nur noch ein kleiner Schritt. Danke dafür.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Di 20.03.2007 | | Autor: | Lady-Blond |
Hey Danke für den Tipp bis hierhin.
Aber könnte es sein, dass du einen Zahlendreher drin hast.
Durch 6 teilen: 2x+y+2z=12 ???
Jetzt habe ich ersteinmal einen Überblick darüber, dass beide Ebenen Parallel sind, danke!
Ich denke den Abstand von zwei Ebenen bekomme ich jetzt hin!
Kann man die erste Ebene: [mm] 2x_1+x_2+2x_3=0 [/mm] so deutet, dass die drei x,x,x trotzdem für x,y,z stehen oder muss ich dabei auf was achten. Ich bin dadurch total irritiert.
Hättest du vielleicht eine Idee dazu?
Das wär nett, DANKE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Di 20.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hey Danke für den Tipp bis hierhin.
> Aber könnte es sein, dass du einen Zahlendreher drin hast.
> Durch 6 teilen: 2x+y+2z=12 ???
O.K. war ein Tippfehler und schon korrigiert.
>
> Jetzt habe ich ersteinmal einen Überblick darüber, dass
> beide Ebenen Parallel sind, danke!
> Ich denke den Abstand von zwei Ebenen bekomme ich jetzt
> hin!
> Kann man die erste Ebene: [mm]2x_1+x_2+2x_3=0[/mm] so deutet, dass
> die drei x,x,x trotzdem für x,y,z stehen oder muss ich
> dabei auf was achten. I
ja, das kannst du. Es ist egal ob die Variablen x, y, z oder mit Indexen [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] heißen. Es ist nur eine andere Schreibweise.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 20.03.2007 | | Autor: | Lady-Blond |
Entschuldige, ich habe nicht auf deine Frage geantwortet. Aber sollten die beiden Ebenen parallel sein, dann müssten die Richtungsvektoren identisch sein oder zumindestens einer! Oder?
Aber wenn das so ist, wie kann ich mit der anderen Ebene verfahren. Diese erste Ebenengleichung ist in Koordinatenform geschrieben, wie kann ich die umwandeln, so dass ich meine Vektoren erkenne?
Außerdem bin ich total irritiert, weil dort [mm] x_1, x_2, [/mm] und [mm] x_3 [/mm] steht und nicht x,y,z? Wie soll ich damit umgehen?
Bin leider völlig ratlos!
|
|
|
|
