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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 10.02.2009 | | Autor: | moody |
| Aufgabe 1 | [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ t} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2t+1}
[/mm]
Bestimme t so, dass die Ebene orthognal zu [mm] E_1 [/mm] ist. |
| Aufgabe 2 | Gehört
[mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
zur Schar? |
| Aufgabe 3 | Betrachte die Menge aller Punkte, die auf allen Ebenen der Schar liegen,
Stelle eine Parameterdarstellung für diese Menge auf |
Hallo,
wäre nett wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen würdet.
Zu 1)
Ich habe einmal den 2. Richtungsvektor von [mm] E_1 [/mm] mit dem ersten Richtungsvektor von [mm] E_t [/mm] skalarmultipliziert und gleich 0 setzt. Dann erhalte ich $ t = [mm] \bruch{-2}{3}$
[/mm]
Mache ich das selbe mit den Normalenvektoren von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_t [/mm] erhalte ich $ t = 1$
Aber [mm] E_1 [/mm] wird ja nicht orthogonal zu [mm] E_1 [/mm] sein.
Kann man das so machen?
Zu 2)
Hier würde ich den Zugangsvektor einer Ebenendarstellung gleich der anderen Ebenendarstellung setzen. Lässt sich das Gleichungssystem eindeutig lösen liegt der Punkt in der Ebene.
Zu 3)
Ist die Darstellung der Ebenenschar nicht die Darstellung aller Punkt die auf der Schar liegen?
lg moody
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> [mm] E_t:\qqad[/mm] [mm]\overrightarrow{OX}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\ t}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2t+1}[/mm]
>
> Bestimme t so, dass die Ebene orthognal zu [mm]E_1[/mm] ist.
>
> Zu 1)
>
> Ich habe einmal den 2. Richtungsvektor von [mm]E_1[/mm] mit dem
> ersten Richtungsvektor von [mm]E_t[/mm] skalarmultipliziert und
> gleich 0 setzt. Dann erhalte ich [mm]t = \bruch{-2}{3}[/mm]
Hallo,
mit welchem Ziel Du das getan hast, ist mir nicht klar.
> Mache ich das selbe mit den Normalenvektoren von [mm]E_1[/mm] und
> [mm]E_t[/mm]
das wäre aus meiner Sicht die Vorgehensweise der Wahl: wenn [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_t [/mm] orthogonal sind, sind ihre Normalenvektoren orthogonal, also deren Skalarprodukt =0.
>erhalte ich [mm]t = 1[/mm]
>
> Aber [mm]E_1[/mm] wird ja nicht orthogonal zu [mm]E_1[/mm] sein.
Wohl kaum. Aber wenn ich das so mache, erhalte ich auch ein anderes Ergebnis...
Rechne nochmal, rechne ggf. vor.
>
> Kann man das so machen?
Ja.
> Gehört
>
> [mm]\overrightarrow{OX}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{0 \\ 1 \\ -3}[/mm]
>
> zur Schar?
> Zu 2)
>
> Hier würde ich den Zugangsvektor einer Ebenendarstellung
> gleich der anderen Ebenendarstellung setzen. Lässt sich das
> Gleichungssystem eindeutig lösen liegt der Punkt in der
> Ebene.
Hmm. Hast Du das mal durchgeführt?
Ich bin skeptisch: wenn Du weißt, daß $ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] $ in einer der Ebenen [mm] E_t [/mm] liegt oder meinetwegen auch in allen, kannst Du Dir dann wirklich sicher sein, daß die durch $ [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm] $ + $ [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ -3} [/mm] $ beschriebene Ebene zu der Ebenenschar gehört, daß es also ein t' gibt so, daß die durch
$ [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] $ + $ [mm] \lambda \vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm] $ + $ [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ -3} [/mm] $ und
overrightarrow{OX}= [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\ t'}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2t'+1}[/mm]
beschriebenen Ebenen gleich sind?
> Betrachte die Menge aller Punkte, die auf allen Ebenen der
> Schar liegen,
>
> Zu 3)
>
> Ist die Darstellung der Ebenenschar nicht die Darstellung
> aller Punkt die auf der Schar liegen?
Vielleicht hast Du "Ebenenschar" noch gar nicht richtig verstanden:
Du hast oben die Gleichung für [mm] E_t [/mm] gegeben. Sämtliche Ebenen, die man erhält, wenn man für t irgendeine Zahl einsetzt, gehören zur betrachteten Ebenenschar.
Wenn Du nun die Punkte betrachten sollst, die gleichzeitig auf allen Ebenen der Schar liegen, so ist dies die Frage nach dem Schnittgebilde.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Di 10.02.2009 | | Autor: | moody |
Danke erstmal für die schnell Antwort.
> mit welchem Ziel Du das getan hast, ist mir nicht klar.
Wenn ein Richtungsvektor der Ebene orthogonal zu dem Richtungsvektor der anderen Ebene steht dann stehen doch auch die Ebenen orthogonal zueinander.
> Rechne nochmal, rechne ggf. vor.
Richtungvektoren [mm] E_1
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Richtungvektoren [mm] E_t
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ t} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2t + 1}
[/mm]
Kreuzprodukte der Richtungsvektoren:
[mm] E_1 \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] E_t \vektor{t+1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{t+1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = 0
$-t-1+1+1 = 0$
$t = 2-1$
$t = 1$
Ich komme immernoch auf das Ergebniss.
> > Zu 2)
Ich könnte auch 3 Punkte einsetzen aber 100% sicher kann man nicht sein. Gibt es denn einen Weg das 100% rauszufinden? Man könnte die Darstellungen ja gleich setzen. Und wenn sich das auflösen lässt, dann sind sie gleich?
> Du hast oben die Gleichung für [mm]E_t[/mm] gegeben. Sämtliche
> Ebenen, die man erhält, wenn man für t irgendeine Zahl
> einsetzt, gehören zur betrachteten Ebenenschar.
> Wenn Du nun die Punkte betrachten sollst, die gleichzeitig
> auf allen Ebenen der Schar liegen, so ist dies die Frage
> nach dem Schnittgebilde.
Muss man dann eine Schnittgerade von E_t1 und E_t2 bilden?
lg moody
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Hallo moody,
ich wollte schon vorhin schreiben, wurde aber durch schnöde Erwerbsarbeit daran gehindert und musst wieder abbrechen. Pardon.
> Wenn ein Richtungsvektor der Ebene orthogonal zu dem
> Richtungsvektor der anderen Ebene steht dann stehen doch
> auch die Ebenen orthogonal zueinander.
Nein.
Nimm die Ebenen z=0 und x=z als Beispiel. Nun gibt es für jede der beiden Ebenen ja unendlich viele Möglichkeiten, Richtungsvektoren festzulegen. Hier ein Beispiel; ich nehme für beide den Ursprung als Aufpunkt (den kann ich dann ja gleich wieder weglassen):
Ebene z=0: [mm] \vec{x}=\lambda\vektor{1\\-2\\0}+\mu\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Ebene x=z: [mm] \vec{x}=\lambda\vektor{1\\0\\1}+\mu\vektor{2\\1\\2}
[/mm]
Nun sind [mm] \vektor{1\\-2\\0}*\vektor{2\\1\\2}=0 [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0}*\vektor{1\\0\\1}=0
[/mm]
- und trotzdem schließen die Ebenen einen Winkel von 45° bzw. 135° ein.
> Richtungvektoren [mm]E_1[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> Richtungvektoren [mm]E_t[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ t}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2t + 1}[/mm]
>
> Kreuzprodukte der Richtungsvektoren:
>
> [mm]E_1 \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> [mm]E_t \vektor{t+1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Nein, beide falsch. Richtig wäre:
[mm] E_1: \vec{n}_1=\vektor{-1 \\ \red{-}1 \\ 1}
[/mm]
[mm] E_t: \vec{n}_t=\vektor{\red{-t} \\ \red{-}1 \\ 1}[/mm]
[/mm]
> Ich komme immernoch auf das Ergebnis.
Mit den richtigen Vektoren nicht mehr.
> > > Zu 2)
>
> Ich könnte auch 3 Punkte einsetzen aber 100% sicher kann
> man nicht sein. Gibt es denn einen Weg das 100%
> rauszufinden? Man könnte die Darstellungen ja gleich
> setzen. Und wenn sich das auflösen lässt, dann sind sie
> gleich?
Ja, so ist es, wenn es ein t gibt, so dass die Ebene [mm] E_t [/mm] identisch mit der in 2) gegebenen Ebene ist - nur vielleicht anders dargestellt - dann bist Du fertig. Vielleicht empfiehlt sich doch die Hessesche Normalform, da sieht man ja "sofort", wenn zwei Ebenen gleich sind.
> > Du hast oben die Gleichung für [mm]E_t[/mm] gegeben. Sämtliche
> > Ebenen, die man erhält, wenn man für t irgendeine Zahl
> > einsetzt, gehören zur betrachteten Ebenenschar.
> > Wenn Du nun die Punkte betrachten sollst, die
> gleichzeitig
> > auf allen Ebenen der Schar liegen, so ist dies die Frage
> > nach dem Schnittgebilde.
> Muss man dann eine Schnittgerade von E_t1 und E_t2
> bilden?
Nicht nur das. Die Gerade muss in allen Ebenen der Schar enthalten sein, also muss sich für beliebige [mm] t_1, t_2 [/mm] mit [mm] t_1\not=t_2 [/mm] die gleiche Gerade ergeben.
> lg moody
Grüße,
reverend
(und danke für den Willkommensgruß!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Di 10.02.2009 | | Autor: | moody |
> Nicht nur das. Die Gerade muss in allen Ebenen der Schar
> enthalten sein, also muss sich für beliebige [mm]t_1, t_2[/mm] mit
> [mm]t_1\not=t_2[/mm] die gleiche Gerade ergeben.
Das meine ich ja, dass man 2 allgemeine $t$ nimmt, [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2.Und [/mm] dann setzt man gleich um die Schnittgerade zu finden. Wie geht es dann weiter wenn man so viele Variablen hat?
lg moody
PS: Zu den beiden Ebenengleichung wo man gucken soll ob die Ebene zur Schar gehört, da habe ich dann nachdem ich beide in die hessesche Form gebracht habe und gleichgesetzt habe raus:
2 = -2t
Demnach ist das die Darstellung von [mm] E_{-1}
[/mm]
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Hi moody,
so viele Variablen??
Wenn die Vermutung überhaupt stimmt, dass alle Ebenen eine Gerade gemeinsam haben, dann muss sich diese ja ganz ohne [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] darstellen lassen. Wenn Du also irgendwelche Schwierigkeiten hast, diese beiden Parameter zu eliminieren, stimmt wahrscheinlich schon an der Vermutung etwas nicht. Dann stell die Geradengleichung mit [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] auf und schau sie Dir daraufhin an, ob Veränderungen dieser Parameter auch die Geradengleichung ändern.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Mi 11.02.2009 | | Autor: | moody |
Ich habs gleichgesetzt und erhalte am Ende [mm] t_1 [/mm] = [mm] t_2
[/mm]
Also würde die Bedingung nur erfüllt wenn [mm] t_1 [/mm] = [mm] t_2 [/mm] ist aber es muss ja logischweise [mm] t_1 \not= t_2 [/mm] gelten.
Also gibt es dieses Schnittgebilde nicht.
Stimmt das so oder ist das logisch dass herauskommt weil auf beiden Seiten eh das gleiche steht nur halt einmal mit [mm] t_1 [/mm] und einmal mit [mm] t_2
[/mm]
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo moody!
Ich erhalte eine eindeutige Schnittgerade [mm] $g_s$ [/mm] für [mm] $t_1 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] t_2$ [/mm] mit dem Zwischenergebnis:
[mm] $$\lambda [/mm] \ = \ [mm] -2\mu$$
[/mm]
Damit erhalte ich dann:
[mm] $$g_s [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\0\\0}+\mu*\vektor{0\\1\\1}$$
[/mm]
Von daher solltet Du Deinen Rechenweg hier posten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 10.02.2009 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | | Welchen Abstand hat [mm] E_0.5 [/mm] von P ( 5 | 0 | 0 ) ? Von welcher Ebene der Schar hat P denselben Abstand? |
Ich habe ausgerechnet, dass der Abstand 1 ist.
Wie kann ich nun von der Hesseschen Normalenform zurück auf eine weitere Ebene kommen die Ebenfalls den Abstand 1 vom Punkt hat?
lg moody
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> Welchen Abstand hat [mm]E_0.5[/mm] von P ( 5 | 0 | 0 ) ? Von welcher
> Ebene der Schar hat P denselben Abstand?
> Ich habe ausgerechnet, dass der Abstand 1 ist.
Hallo,
ich würde jetzt die Gleichung für [mm] E_t [/mm] in die Hessesche Normalenform bringen, ihren Abstand zu P berechnen. Dieser wird vermutlich von t abhängen. Den Abstand dann =1 setzen und das passende t ausrechnen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Di 10.02.2009 | | Autor: | moody |
Danke,
habe nun $t = -2$ raus.
lg moody
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