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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Di 08.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Bei folgenden Aufgaben komme ich nicht weiter:
Man bestimme eine parameterfreie Gleichung der durch die nachfolgenden Angaben jeweils festgelegten Ebene E:
1. In E liegen die Punkte [mm] P_{1} [/mm] (1,2,3) und [mm] P_{2} [/mm] (3,2,1), E steht senkrecht auf der Ebene 4x - y + 2z = 7.
Lösung: x + 6y + z = 16
Wie setze ich hier die 2(!) Punkte ein?
2. In E liegt der Punkt [mm] P_{0} [/mm] (2,1,-1), die Schnittgerade g der Ebenen 2x + y -z = 3 und x+ 2y + z = 2 steht senkrecht auf E.
Lösung: x - y + z = 0
Hier weiß ich schon bei Bestimmung der Schnittgeraden mit dem Gauß-Verfahren nicht weiter -> beim letzten Schritt kommt heraus: 0*x -3*y - 3*z = -1 ??? (So dass ich weder einen Parameter t setzen, noch nach y oder z auflösen kann).
3. In E liegt der Punkt A (1,1,-3), E verläuft parallel zu den Vektoren a = [mm] (-3,-2,2)^{T} [/mm] und b = [mm] (1,-3,-8)^{T}.
[/mm]
Lösung: 2x -2y + z + 3 = 0
Wie gehe ich vor, wenn E zu etwas parallel verläuft?
4. In E liegt der Punkt Q (1,-1,3), E verläuft parallel zur Ebene [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 7.
Lösung: [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 5
Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!
LG Sue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 08.02.2005 | | Autor: | Max |
Hi,
> 1. In E liegen die Punkte [mm]P_{1}[/mm] (1,2,3) und [mm]P_{2}[/mm] (3,2,1),
> E steht senkrecht auf der Ebene 4x - y + 2z = 7.
> Lösung: x + 6y + z = 16
>
> Wie setze ich hier die 2(!) Punkte ein?
Du kannst ja aus der zweiten Ebenengleichung den Normalenvektor ablesen. Für die Koeffizienten der gesuchten Ebene $E: [mm] ax_1+bx_2+cx_3=d$ [/mm] erhälst du dann mit dem Normalenvektor und den beiden Punkten drei Gleichungen. Damit kannst du die Koeffizienten (bis auf Vielfache) bestimmen.
> 2. In E liegt der Punkt [mm]P_{0}[/mm] (2,1,-1), die Schnittgerade g
> der Ebenen 2x + y -z = 3 und x+ 2y + z = 2 steht senkrecht
> auf E.
> Lösung: x - y + z = 0
Du kannst die Schnittgerade der beiden Ebenen bestimmen und kennst damit den Normalenvektor der gesuchten Ebene. Die Komponenten des Normalenvektors können ja als Koeffizienten für die Koordinatengleichung der Ebene gewählt werden. Du musst dann den fehlenden Wert für $d$ mit dem Punkt bestimmen.
> Hier weiß ich schon bei Bestimmung der Schnittgeraden mit
> dem Gauß-Verfahren nicht weiter -> beim letzten Schritt
> kommt heraus: 0*x -3*y - 3*z = -1 ??? (So dass ich weder
> einen Parameter t setzen, noch nach y oder z auflösen
> kann).
Du hast doch dann die Gleichungen
$-3y-3z=-1$
$ x+ 2y + z = 2 $
Dort kannst du z.B. $z=t$ setzen und $x,y$ bestimmen, damit hast du die $x,y,z$ Koordinaten (in Abhängigkeit des Parameters $t$) und kannst damit die Gerade aufstellen.
> 3. In E liegt der Punkt A (1,1,-3), E verläuft parallel zu
> den Vektoren a = [mm](-3,-2,2)^{T}[/mm] und b = [mm](1,-3,-8)^{T}.
[/mm]
> Lösung: 2x -2y + z + 3 = 0
>
> Wie gehe ich vor, wenn E zu etwas parallel verläuft?
Da $E$ parallel zu den beiden Vektoren liegt, muss der Mormalenvektor von $E$ zu beiden Vektoren gleichzeitig senkrecht stehen. Damit kannst du den Normalenvektor bestimmen und mit diesem und dem Punkt die Koordinatengleichung aufstellen.
> 4. In E liegt der Punkt Q (1,-1,3), E verläuft parallel zur
> Ebene [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 7.
> Lösung: [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 5
Parallele Ebenen haben den gleichen Normalenvektor und damit die gleichen Koeffizienten, einzig der Wert $d$ ist unterschiedlich und kann mit dem Punkt bestimmt werden.
> Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!
>
> LG Sue
>
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Vielen Dank für deine ausführlichen Antworten!
Sue
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