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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mo 15.03.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Matrix [mm] B=\pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0} \in \IR [/mm] (4x4) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass -1 ein EW von B ist und bestimmen Sie eine Basis für den zugehörigen Eigenraum E.
b) Sei 0 [mm] \not= [/mm] n [mm] \in \IR^4 [/mm] ein Vektor orthogonal zu E (bezüglich des Standard–Skalarprodukts auf [mm] \IR^4). [/mm] Bestimmen Sie B · n und folgern Sie daraus, dass B das charakteristische Polynom [mm] p_B(t)=(t+1)^3 [/mm] (t-3) besitzt. |
Hallo.
Also zu a)
Ich bekomme als Basisverktoren raus [mm] v_1^t=(-1 [/mm] 1 0 0), [mm] v_2^t=(-1 [/mm] 0 1 0), [mm] v_3^t=(-1 [/mm] 0 0 1).
Bei b) gehts in meiner Lösung so weiter:
E={x [mm] \in \IR^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0}...
[/mm]
Meine Frage nun: Wie komme ich auf diese Ebenengleichung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Blech |
> Matrix [mm]B=\pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0} \in \IR[/mm]
> (4x4) gegeben.
>
> a) Zeigen Sie, dass -1 ein EW von B ist und bestimmen Sie
> eine Basis für den zugehörigen Eigenraum E.
>
> b) Sei 0 [mm]\not=[/mm] n [mm]\in \IR^4[/mm] ein Vektor orthogonal zu E
> (bezüglich des Standard–Skalarprodukts auf [mm]\IR^4).[/mm]
> Bestimmen Sie B · n und folgern Sie daraus, dass B das
> charakteristische Polynom [mm]p_B(t)=(t+1)^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(t-3) besitzt.
> Hallo.
>
> Also zu a)
die stimmen.
>
> Bei b) gehts in meiner Lösung so weiter:
> E={x [mm]\in \IR^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0}...[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Jeder Punkt $x^t=(x_1;x_2;x_3;x_4)$ von E ist eine Linearkombination der drei Basisvektoren:
$\pmat{-1\\1\\0\\0}\alpha+\pmat{-1\\0\\1\\0}\beta+\pmat{-1\\0\\0\\1}\gamma = x$
oder umgekehrt: x ist genau dann in E, wenn das lineare Gleichungssystem
$\left(\left.\begin{array}{ccc}-1 & -1 & -1 \\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0&0&1\end{array}\right|\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)$
eine Lösung hat, dann existieren nämlich die entsprechenden $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. Wenn Du das umformst kommt
$\left(\left.\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0&0&1\end{array}\right|\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3+x_4\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)$
raus. Und das hat offensichtlich eine Lösung, gdw die erste Zeile stimmt, also $x_1+x_2+x_3+x_4=0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Di 16.03.2010 | | Autor: | lubalu |
Ah ja...danke! Hab ich verstanden!
Aber eine ganz blöde Frage: Hat eine Ebene im [mm] \IR^4 [/mm] 3 Richtungsvekoren? Und im [mm] \IR^3 [/mm] hat eine Ebene 2 Richtungsvektoren???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Di 16.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah ja...danke! Hab ich verstanden!
> Aber eine ganz blöde Frage: Hat eine Ebene im [mm]\IR^4[/mm] 3
> Richtungsvekoren? Und im [mm]\IR^3[/mm] hat eine Ebene 2
> Richtungsvektoren???
machen wirs gleich im [mm] \IR^n: [/mm] Seien [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_{n-1} \in \IR^n [/mm] lin. unabhängig und [mm] v_0 \in \IR^n. [/mm] Dann heißt
[mm] $\{ v_0+t_1v_1+ ...+t_{n-1}v_{n-1} : t_1, ..., t_{n-1} \in \IR \}
[/mm]
eine Hyperebene
FRED
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