Ebenengleichung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Fr 27.05.2005 | | Autor: | genimasi |
Hallo,
ich scheitere gerade beim Versuch ein gefaltetes Dach zu programieren.
Dabei habe ich folgende Angaben:
drei Punkte vollständig (X1/Y1/Z1), (X2/Y2/Z2), (X3/Y3/Z3)
sowie vom vierten Punkt (X4/Y4/ )
gesucht wäre lediglich Z4
Mir kommt vor das sollte nicht so schwer zu lösen sein, ich komme aber leider auf keinen grünen Zweig.
lG Genimasi
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich scheitere gerade beim Versuch ein gefaltetes Dach zu
> programieren.
> Dabei habe ich folgende Angaben:
> drei Punkte vollständig (X1/Y1/Z1), (X2/Y2/Z2),
> (X3/Y3/Z3)
ich nehme an die 3 Punkte liegen nicht auf einer Geraden (logisch oder?).
> sowie vom vierten Punkt (X4/Y4/ )
> gesucht wäre lediglich Z4
Stelle zunächst die Ebenengleichung auf:
[mm]\varepsilon :\;
\overrightarrow x \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} } \\
{y_{1} } \\
{z_{1} } \\
\end{array} } \right)\; + \;u\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{2} \; - \;x_{1} } \\
{y_{2} \; - \;y_{1} } \\
{z_{2} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)\; + \;v\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{3} \; - \;x_{1} } \\
{y_{3} \; - \;y_{1} } \\
{z_{3} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Da der Punkt [mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_4 } \\
{y_4 } \\
? \\
\end{array} } \right)[/mm] ein Punkt der Ebene sein soll, so hat man dieses Gleichungssystem zu lösen:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{4} } \\
{y_{4} } \\
? \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} } \\
{y_{1} } \\
{z_{1} } \\
\end{array} } \right)\; + \;u\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{2} \; - \;x_{1} } \\
{y_{2} \; - \;y_{1 } \\
{z_{2} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)\; + \;v\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{3} \; - \;x_{1} } \\
{y_{3} \; - \;y_{1} } \\
{z_{3} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Ermittle nun aus den ersten zwei Gleichungen die Parameter u und v. Setze sie dann in die dritte Gleichung ein, und Du erhältst die fehlende Komponente.
Es gibt noch einen zweiten Weg:
Hierbei lautet die Ebenengleichung:
[mm]\varepsilon :\;\left( {x\; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} } \\
{y_{1} } \\
{z_{1} } \\
\end{array} } \right)} \right)\; \bullet \;\left( {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{2} \; - \;x_{1} } \\
{y_{2} \; - \;y_{1} } \\
{z_{2} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)\; \times \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{3} \; - \;x_{1} } \\
{y_{3} \; - \;y_{1} } \\
{z_{3} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)} \right)\; = \;0
[/mm]
Setzt man hier den unbekannten Punkt ein, so ergibt sich unmittelbar die fehlende Komponente.
Das heißt dann:
[mm]
\left( {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{4} } \\
{y_{4} } \\
? \\
\end{array} } \right)\; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} } \\
{y_{1} } \\
{z_{1} } \\
\end{array} } \right)} \right)\; \bullet \;\left( {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{2} \; - \;x_{1} } \\
{y_{2} \; - \;y_{1} } \\
{z_{2} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)\; \times \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{3} \; - \;x_{1} } \\
{y_{3} \; - \;y_{1} } \\
{z_{3} \; - \;z_{1} } \\
\end{array} } \right)} \right)\; = \;0
[/mm]
Ich denke das Skalarprodukt und das Vektorprodukt im [mm]\IR^{3}[/mm] sind Dir bekannt.
Gruß
MathePowerr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 27.05.2005 | | Autor: | genimasi |
Hallo Mathepowerr,
danke für Deine prompte Hielfeleistung, nur muss ich
Dich leider enttäuschen. Mein Vektorrechnerei ist schon einige Jährchen her. Ich hab es mit der Gleichung Z=A*x+b*y+c versucht und drei Punkte eingesetzt u.s.w. wobei y bei zwei Punkten 0 ist, wodurch sich meiner Meinung nach das Ganze relativ einfach lösen läßt.
Dachte ich zumindest. Das Ergebnis ist aber offensichtlich falsch, da der vierte Punkt nicht in einer Ebene mit den anderen dreien liegt.
Meine Bitte wäre volgende: Könntest Du mir die Gleichung so Umformen, dass ich die benötigten Parameter einfach aus den gegebenen Punkte ausrechnen kann?
lG Genimasi
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Hallo Genimasi,
> danke für Deine prompte Hielfeleistung, nur muss ich
> Dich leider enttäuschen. Mein Vektorrechnerei ist schon
> einige Jährchen her. Ich hab es mit der Gleichung
> Z=A*x+b*y+c versucht und drei Punkte eingesetzt u.s.w.
> wobei y bei zwei Punkten 0 ist, wodurch sich meiner Meinung
> nach das Ganze relativ einfach lösen läßt.
> Dachte ich zumindest. Das Ergebnis ist aber offensichtlich
> falsch, da der vierte Punkt nicht in einer Ebene mit den
> anderen dreien liegt.
Mit der Formel liegst Du gar nicht so falsch. Das ganze vektoriell betrachtet und das stimmt.
> Meine Bitte wäre volgende: Könntest Du mir die Gleichung so
> Umformen, dass ich die benötigten Parameter einfach aus den
> gegebenen Punkte ausrechnen kann?
Ich nehme mal den zweiten Weg.
Zunächst definiere ich zwei Richtungsvektoren der Ebene [mm]\varepsilon[/mm]:
[mm]
\begin{array}{l}
r_{1} : = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{r_{11} } \\
{r_{12} } \\
{r_{13} } \\
\end{array}} \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{2} \; - \;x_{1} } \\
{y_{2} \; - \;y_{1} } \\
{z_{2} \; - \;z_{1} } \\
\end{array}} \right) \\
r_{2} : = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{r_{21} } \\
{r_{22} } \\
{r_{23} } \\
\end{array}} \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{3} \; - \;x_{1} } \\
{y_{3} \; - \;y_{1} } \\
{z_{3} \; - \;z_{1} } \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}[/mm]
Dann bilde ich den Normalenvektor, welcher senkrecht zu beiden Vektoren [mm]r_{1}[/mm] und [mm]r_{2}[/mm] ist:
[mm]
n\;: = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n_{1} } \\
{n_{2} } \\
{n_{3} } \\
\end{array}} \right)\; = \;r_1 \; \times \;r_2 \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{r_{11} } \\
{r_{12} } \\
{r_{13} } \\
\end{array}} \right)\; \times \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{r_{21} } \\
{r_{22} } \\
{r_{23} } \\
\end{array}} \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{r_{12} \;r_{23} \; - \;r_{13} \;r_{22} } \\
{r_{13} \;r_{21} \; - \;r_{11} \;r_{23} } \\
{r_{11} \;r_{22} \; - \;r_{12} \;r_{21} } \\
\end{array}} \right)[/mm]
Danach setze ich dies in die Ebenengleichung ein:
[mm]\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{4} \; - \;x_{1} } \\
{y_{4} \; - \;y_{1} } \\
{z_{4} \; - \;z_{1} } \\
\end{array}} \right)\; \bullet \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n_{1} } \\
{n_{2} } \\
{n_{3} } \\
\end{array}} \right)\; = \;0 \\
\Leftrightarrow \;\left( {x_{4} \; - \;x_{1} } \right)\;n_{1} \; + \;\left( {y_{4} \; - \;y_{1} } \right)\;n_{2} \; + \left( {z_{4} \; - \;z_{1} } \right)\;n_{3} \; = \;0 \\
\end{array}[/mm]
Umformen nach [mm]z_{4}[/mm] liefert:
[mm]z_{4} \; = \;z_{1} \; - \frac{1}{{n_{3} }}\;\left( {\left( {x_{4} \; - \;x_{1} } \right)\;n_{1} \; + \;\left( {y_{4} \; - \;y_{1} } \right)\;n_{2} } \right)[/mm]
wobei hier natürlich [mm]n_{3}[/mm] ungleich 0 sein muß.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Fr 27.05.2005 | | Autor: | genimasi |
Hallo MathePowerr,
das hat wirklich funktioniert. SUPER
Herzlichen Dank,
Genimasi
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