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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mi 30.08.2006 | | Autor: | B-LaSh |
| Aufgabe | Gegeben sind:
[mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ a}+r*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s*\vektor{b \\ c \\ 2}
[/mm]
und
[mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+m*\vektor{4 \\ 1 \\ 2}+n*\vektor{d \\ 1 \\ -1} [/mm] .
Wie müssen die reellen Zahlen a,b,c und d gewählt werden, damit sich die beiden Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] schneiden? |
Diese Aufgabe haben wir heute in der Schule gerechnet, sind dabei aber auf etwas Sonderbares gestoßen.
Hier der Lösungsweg:
[mm] \pmat{ 1 & b & -4 & -d & 1 \\ -1 & c & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & 1 & 1-a } [/mm] 1. spalte r, zweite s, dritte m, vierte n, fünfte =
2. auf 3. addiert
[mm] \pmat{ 1 & b & -4 & -d & 1 \\ -1 & c & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 2+c & -3 & 0 & -a }
[/mm]
1. auf 2. addiert
[mm] \pmat{ 1 & b & -4 & -d & 1 \\ 0 & b+c & -5 & -1-d & 0 \\ 0 & 2+c & -3 & 0 & -a } [/mm]
soweit stand es an der Tafel. Da in jeder Zeile bei m eine reelle Zahl steht, kann in keiner Zeile ein Widerspruch entstehen. Aus dem selben Grund kann auch keine Nullzeile enstehen. Also sind a,b,c, und d beliebig, da sich alle Ebenen schneiden.
Das war die Erklärung des Lehrers.
Ein Kumpel und ich hatten die Matrix allerdings weiter umgeformt:
2. zeile * (-3) 3. zeile *5 dann 2. auf 3. addiert
[mm] \pmat{ 1 & b & -4 & -d & 1 \\ 0 & b+c & -5 & -1-d & 0 \\ 0 & -3b+2c+10 & 0 & 3+3d & -5a } [/mm]
Jetzt gibt es unendlich viele Möglichkeiten für Nullzeilen und Widersprüche, und die Ebene schneiden sich auf keinen Fall.
Gibt es irgendwo einen Fehler? (Rechen- oder Denkfehler?)
Oder könnt ihr mir das ganze erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 30.08.2006 | | Autor: | B-LaSh |
es muss doch an sich einen klaren Fehler irgendwo geben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 30.08.2006 | | Autor: | B-LaSh |
hat denn keiner ne ahnung hier? =((
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Hi, B-LaSh,
Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, wenn nicht jeweils drei der 4 Richtungsvektoren linear abhängig sind.
Linear abhängig wären Sie in Deinem Fall, wenn sowohl
-3b + 2c + 10 = 0 als auch 3d + 3 = 0 (also d=-1) gilt.
(Ich habe diese Gleichungen auf anderem Weg erhalten, nämlich mittels Determinanten; sie bestätigen jedoch die Lösung Deines Kumpels!)
Zwei Ebenen sind sogar identisch, wenn sowohl alle 4 Richtungsvektoren linear abhängig sind, als auch der Verbindungsvektor der beiden Aufpunkte. Letzteres ergäbe sich für a = 0.
Dein Lehrer hat übersehen, dass die letzte und die vorletzte Zeile identisch sein können
und zwar wenn man a = 0 und d = -1 setzt.
Die verbleibenden Werte der letzten Zeile (2+c und -3) müssen dann nämlich nur noch mit [mm] \bruch{5}{3} [/mm] multipliziert werden.
Die "Unmöglichkeit einer Nullzeile" reicht demnach für die gesuchte Begründung nicht aus!
mfG!
Zwerglein
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