Ebenenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Fr 16.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Ebenenschar [mm] E_{a}: ax_{1}+ x_{2}+ ax_{3}=11, [/mm] a [mm] \in \IR. [/mm] Geben Sie eine Gerade g in Parameterform an, die in allen Ebenen der Schar enthalten ist. |
Hallo,
Also ich dachte mir um von dem Parameter unabhängig zu sein, setz ich doch mal a=0 und finde damit den Punkt A(0/11/0) der schon mal in allen Ebenen enthalten ist.
Jetzt müsste ich nur noch einen Richtungsvektor der Geraden finden, dazu dachte ich mir, dass der Normalenvektor ja [mm] \vektor{a \\ 1 \\ a} [/mm] ist und eben dieser Normalenvektor mal einem gesuchten Richtungsvektor im Skalarprodukt 0 sein muss, also hab ich den Richtungsvektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] gewählt und komme auf g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 11 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}, [/mm] r [mm] \in \IR. [/mm] Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Fr 16.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Ebenenschar [mm]E_{a}: ax_{1}+ x_{2}+ ax_{3}=11,[/mm]
> a [mm]\in \IR.[/mm] Geben Sie eine Gerade g in Parameterform an, die
> in allen Ebenen der Schar enthalten ist.
> Hallo,
> Also ich dachte mir um von dem Parameter unabhängig zu
> sein, setz ich doch mal a=0 und finde damit den Punkt
> A(0/11/0) der schon mal in allen Ebenen enthalten ist.
> Jetzt müsste ich nur noch einen Richtungsvektor der
> Geraden finden, dazu dachte ich mir, dass der
> Normalenvektor ja [mm]\vektor{a \\ 1 \\ a}[/mm] ist und eben dieser
> Normalenvektor mal einem gesuchten Richtungsvektor im
> Skalarprodukt 0 sein muss, also hab ich den Richtungsvektor
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] gewählt und komme auf g: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 11 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{1 \\ 0 \\ -1},[/mm] r [mm]\in \IR.[/mm]
> Stimmt das soweit?
Ja.
Das hättest Du auch selbst nachprüfen können, denn für jedes r [mm] \in \IR [/mm] liegt der Punkt
(r, 11, -r)
in jedem [mm] E_a.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 16.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei nun h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ -1 \\ 5}+ [/mm] s* [mm] \vektor{7 \\ 2 \\ 1}, [/mm] s [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, dass genau eine Ebene der Schar echt parallel zu h ist. Welche Lagebeziehung haben demzufolge g und h zueinander? |
Hallo,
Vielen Dank nochmal fürs erste,
also zur Erinnerung die Ebenenschar war ja [mm] E_{a}: ax_{1}+ x_{2}+ ax_{3}=11 [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] und ich hab hab rausgefunden, dass die Ebene [mm] E_{-0,25}, [/mm] die einzige ist die zu h parallel ist und das auch zeigen können.
Nur bei der letzten Frage ist mir nicht klar wie ich daraus folgern soll wie g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 11 \\ 0}+ [/mm] r* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}, [/mm] r [mm] \in \IR [/mm] und h zueinander stehen. Klar ist mir, dass die beiden Geraden nicht zueinander parallel sind, da g ja in jeder Ebene liegt, aber h nur zu genau einer Ebene parallel ist. Somit müssten g und h entweder windschief stehen oder sich schneiden.
Ich mein das nachrechnen wär jetzt nicht das Problem, aber wie kann man das direkt aus dem Ergebnis folgern, dass nur eine Ebene der Schar zu h echt parallel ist...?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Fr 16.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
hat sich erledigt, weil h ja keinen Punkt von [mm] E_{-0,25} [/mm] schneidet müssen die Geraden windschief sein
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Hallo!
> Sei nun h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ -1 \\ 5}+[/mm] s* [mm]\vektor{7 \\ 2 \\ 1},[/mm]
> s [mm]\in \IR.[/mm]
> Zeigen Sie, dass genau eine Ebene der Schar
> echt parallel zu h ist. Welche Lagebeziehung haben
> demzufolge g und h zueinander?
> also zur Erinnerung die Ebenenschar war ja [mm]E_{a}: ax_{1}+ x_{2}+ ax_{3}=11[/mm]
> a [mm]\in \IR[/mm] und ich hab hab rausgefunden, dass die Ebene
> [mm]E_{-0,25},[/mm] die einzige ist die zu h parallel ist und das
> auch zeigen können.
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Nur bei der letzten Frage ist mir nicht klar wie ich
> daraus folgern soll wie g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 11 \\ 0}+[/mm]
> r* [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1},[/mm] r [mm]\in \IR[/mm] und h zueinander
> stehen. Klar ist mir, dass die beiden Geraden nicht
> zueinander parallel sind, da g ja in jeder Ebene liegt,
> aber h nur zu genau einer Ebene parallel ist.
Genau. Man erkennt es aber auch (leichter) daran, dass g und h nicht linear abhängige Richtungsvektoren haben,
also die Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind. Damit können g und h auch nicht identisch sein.
> Somit
> müssten g und h entweder windschief stehen oder sich
> schneiden.
Warum können g und h sich nicht schneiden?
Du hast nachgewiesen, dass g in einer Ebene liegt [mm] (E_{-0.25}), [/mm] die echt parallel zu h ist!
Also sind g und h windschief.
Grüße,
Stefan
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