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| Aufgabe | Seien [mm] X_1,..,X_n [/mm] unabhängig und gemäß einer stetigen Gleichverteilung auf [mm] [0,\theta] [/mm] verteilt.
Weisen Sie nach, dass alle Schätzer der Form
[mm] \theta_\lambda [/mm] = [mm] \lambda\bruch{n+1}{n} X_{n:n}+(1-\lambda)(n+1)X_{1:n} (\lambda \in [/mm] (0,1)) erwartungstreu sind und ermitteln Sie jenen Schätzer mit gleichmäßig kleinster Varianz. |
[mm] X_{1:n} [/mm] ist das Stichprobenminimum. [mm] X_{n:n} [/mm] das Stichprobenmaximum. Allgemein ist [mm] X_{i:n} [/mm] die i-te Ordnungsstatistik. Diese hat Erwartungswert [mm] \bruch{i}{n+1}\theta [/mm] und Varianz [mm] \bruch{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\theta^2. [/mm] Damit lässt sich der erste Teil recht leicht zeigen.
Meine Frage: Wie finde ich jenen Schätzer, für den die Varianz minimal ist.
Ich komme auf [mm] V[\theta_\lambda]=\theta^2(\lambda^2\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+(1-\lambda)^2\bruch{n}{(n+1)(n+2)})+2\lambda(1-\lambda)*cov(X_{1:n},X_{n:n})
[/mm]
und finde keinen Weg die auftretende Kovarianz zu berechnen.
Brauch ich diese Berechnung aber überhaupt?
Wenn ich [mm] \bruch{\partial}{\partial\lambda}V[\theta_\lambda]=0 [/mm] setze und die auftretende Kovarianz weglasse, erhalte ich ein Minimum bei [mm] \bruch{n}{n+1}, [/mm] was mir ganz plausibel vorkommt.
Hat jemand einen Vorschlag, wie ich mit der Kovarianz in diesem Beispiel umgehen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 11:59 Di 13.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Danke für deine Antwort. Hilft mir schon sehr viel weiter. Ich weiß nur nicht ob das Beispiel richtig gelöst ist, wenn ich die Kovarianz komplett unter den Tisch fallen lasse (trotz naheliegendem Argument). Wenn ich das Minimum unter Berücksichtigung der Kovarianz berechne, bekomme ich allerdings kein plausibles Ergebnis mehr.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Di 13.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
> Ich komme auf
> [mm]V[\theta_\lambda]=\theta^2(\lambda^2\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+(1-\lambda)^2\bruch{n}{(n+1)(n+2)})+2\lambda(1-\lambda)*cov(X_{1:n},X_{n:n})[/mm]
>
Hm, vielleicht sollten wir uns zunaechst einmal uber die Grundlagen unterhalten, denn ich kann
das obige Ergebnis nicht nachvollziehen:
[mm] $\operatorname{Var}[\frac{n+1}{n} X_{n:n}]=(\frac{n+1}{n})^2\frac{n}{(n+1)^2(n+2)}=\frac{1}{n(n+2)}$
[/mm]
[mm] $\operatorname{Var}[(n+1)X_{1:n}]=(n+1)^2\frac{n}{(n+1)^2(n+2)}=\frac{n}{n+2}$
[/mm]
Bitte um Aufklaerung.
lg Luis
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:20 Di 13.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Sorry, da war wohl ein Fehler drin. Hab das heute früh nochmal gerechnet und komm auf
[mm] \lambda^2 \bruch{1}{n*(n+2)}\theta^2+(1-\lambda)^2\bruch{n}{n+2}\theta^2 [/mm] + "Kovarianz"
was mit deinem Ergebnis übereinstimmt.
Lässt man den Kovarianz-Term weg und setzt die Ableitung 0, erhält man ein Extremum bei [mm] \lambda=\bruch{n^2}{n^2+1}.
[/mm]
Wenn ich dei Kovarianz dazu nehme, erhalte ich allerdings einen Wert [mm] \lambda=0.
[/mm]
Der Kovarianzterm lautet
[mm] 2*\lambda*\bruch{n+1}{n}*(1-\lambda)*(n+1)*cov(X_{1:n},X_{n:n})=
[/mm]
[mm] =2*\lambda*(1-\lambda)*\bruch{(n+1)^2}{n}*\bruch{n^2}{(n+1)^2(n+2)}*\theta^2=
[/mm]
[mm] =2*\lambda*(1-\lambda)*\bruch{n}{n+2}*\theta^2.
[/mm]
[mm] \theta^2 [/mm] kann ich aus allen Summanden herausheben und vernachlässigen, das es beim Nullsetzen der Ableitung keine Rolle mehr spielt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 13.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin chimneytop,
*ich* erhalte
[mm] $\operatorname{Cov}[X_{1:n},X_{n:n}]=\bruch{1}{(n+1)^2(n+2)}\cdot{}\theta^2$
[/mm]
Vielleicht hilft das ja weiter...
lg Luis
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 15:50 Di 13.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Ach ja, ich hab ja [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n}) [/mm] genommen. Aber müssten die nicht symmetrisch sein. [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n})=Cov(X_{1:n},X_{n:n}).
[/mm]
Mit deinem Ergebnis funktionierts jetzt. [mm] \lambda=\bruch{n}{n-1}, [/mm] was mir schon sehr gut gefällt. Allerdings ist jetzt [mm] \lambda>1. [/mm] Wenn ich zeige, dass die Funktion auf (0,1) monoton fällt, lautet mein Ergebnis: Das Minimum wird für [mm] \lambda=1 [/mm] angenommen. Oder?
Danke nochmal!
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Sorry, hab mich verrechnet. Minimum bei [mm] \lambda=1. [/mm] Alles klar jetzt, vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 13.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ach ja, ich hab ja $ [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n}) [/mm] $ genommen. Aber müssten die nicht symmetrisch sein. $
> [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n})=Cov(X_{1:n},X_{n:n}). [/mm] $
Jaja, du hast schon Recht. Aber die Formel gilt fuer $r<s$ (hab's inzwischen ergaenzt)
> Mit deinem Ergebnis funktionierts jetzt. $ [mm] \lambda=\bruch{n}{n-1}, [/mm] $ was mir schon sehr gut gefällt. Allerdings ist jetzt $
> [mm] \lambda>1. [/mm] $ Wenn ich zeige, dass die Funktion auf (0,1) monoton fällt, lautet mein Ergebnis: Das Minimum wird für $ [mm] \lambda=1 [/mm] > $ angenommen. Oder?
Hm, koenntest du mal deine Zielfunktion mitteilen? Ich meine, sie lautet
[mm] $g(\lambda)= \lambda^2\frac{1}{n(n+2)}+(1-\lambda)^2\frac{n}{n+2}+2\lambda(1-\lambda)\frac{1}{n(n+2)}$.
[/mm]
Fuer sie erhalte ich ein Minimum bei [mm] $\lambda=1$.
[/mm]
lg Luis
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 14:13 Mi 14.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Stimmt. Das erhalte ich jetzt auch:
[mm] Var(\theta_\lambda)=\bruch{\theta^2}{n(n+2)}[\lambda^2+(1-\lambda)^2n^2+2\lambda(1-\lambda)].
[/mm]
Eine weitere Frage: gleichmäßig kleinste Varianz klingt für mich nach Rao-Cramer-Schranke.
Wenn der Schätzer effizient ist, müsste in der Cramer-Rao-Ungleichung doch Gleichheit gelten.
[mm] f(x,\theta)=\bruch{1}{\theta} [/mm] (Gleichverteilung)
[mm] E(\bruch{\partial log(f(x,\theta)}{\partial \theta})^2=...=\bruch{1}{\theta^2}.
[/mm]
[mm] I_n(\theta)=\bruch{n}{\theta^2}.
[/mm]
Also lautet die Abschätzung:
[mm] V_\theta(\theta_\lambda)>=\bruch{1}{I_n(\theta)}=\bruch{\theta^2}{n}.
[/mm]
Für den Schätzer mit [mm] \lambda=1 [/mm] gilt hier keine Gleichheit. Er unterschreitet sogar die angegebene Schranke:
[mm] V_\theta(\theta_1)=\bruch{\theta^2}{n(n+2)} [/mm] < [mm] \bruch{\theta^2}{n}!
[/mm]
Wo liegt da der (Denk?)fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin chimneytop,
vielleicht hast du ja Zugang zu einer Mathebibliothek und findest dort
Introduction to the Theory of Statistics (McGraw-Hill Series in
Probability and Statistics) (Hardcover) by Alexander McFarlane Mood
(Author), Franklin A. Graybill (Author), Duane C. Boes
Inbesondere die Seiten 315-21 sind in diesem Zusammenhang relevant.
Es sieht danach, dass du die RCU hier nicht anwenden kannst, da die
Gleichverteilung in [mm] $(0,\theta)$ [/mm] die erforderlichen Regularitaetsbedingen
nicht erfuellt (der Traeger haengt von [mm] $\theta>0$ [/mm] ab). Siehe
![[]](/images/popup.gif) http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r-Rao_bound
(die zweite Regularitaetsbedingung)
lg Luis
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 17:27 Mi 14.11.2007 | | Autor: | chimneytop |
Danke! Werd mir das morgen in der Bibliothek suchen.
Gibt es noch ein anderes Kriterium, dass man hier anwenden kann oder ist der Lösungsweg über die Ableitung der Varianz der gefragte (bin mir da nämlich nicht ganz sicher, ob das Bsp. so zu lösen ist wie ichs angesetzt hab)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Sehe keine gravierenden Fehler. Du erhaeltst einen sauguten Schaetzer
der e.t. ist und dessen Varianz sehr schnell verschwindet. Jedenfalls
schneller als die Varianz von [mm] $2\bar X=2\sum X_i/n$, [/mm] der ebenfalls e.t.
ist.
lg Luis
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
