Eigenfunktionen und Eigenwerte < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Betrachte für ein beschränktes Gebiet [mm] $\Omega\subset \IR^n$ ($n\in\IN$) [/mm] den Laplace-Operator
[mm] $A:=-\triangle:L^2(\Omega)\supset D(A)=H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\longrightarrow R(A)=L^2(\Omega)\quad\text{mit}\quad u(x)\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)$ [/mm] |
Hallo an alle.
Ich habe gelesen, dass die Eigenfunktionen von $A$ durch
[mm] $\varphi_j(x)\,=\,\sqrt{2}\sin(j\pi x)\quad(j=1,\ldots,\infty)$
[/mm]
und die Eigenwerte von $A$ durch
[mm] $\lambda_j\,=\,j^2\pi^2\quad(j=1,\ldots,\infty)$
[/mm]
gegeben sind, d.h. sie erfüllen die Eigenschaft
[mm] $A\varphi_j\,=\,\lambda_j\varphi_j\quad(j=1,\ldots,\infty)$
[/mm]
Aber wenn ich mich jetzt nicht täusche, dann dürften dies doch nur die Eigenfunktionen und Eigenwerte für [mm] $\Omega\subset\IR$ [/mm] und nicht etwa für [mm] $\Omega\subset\IR^n$ [/mm] mit $n>1$ sein, oder? (Denn [mm] $\sqrt{2}\sin(j\pi [/mm] x)$ ist ja nicht z.B. für [mm] $x\in\IR^2$ [/mm] definiert). Genauer benötige ich nämlich die Eigenfunktionen und Eingenwerte für $n=1,2,3$.
Falls ich die obigen für $n=2,3$ aber nicht verwenden kann, wie sehen dann die für diese Fälle benötigten Eigenfunktionen und Eingenwerte aus?
Vielen Dank bereits im voraus
Gruß
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Hallo Denny22,
> Betrachte für ein beschränktes Gebiet [mm]\Omega\subset \IR^n[/mm]
> ([mm]n\in\IN[/mm]) den Laplace-Operator
>
> [mm]A:=-\triangle:L^2(\Omega)\supset D(A)=H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\longrightarrow R(A)=L^2(\Omega)\quad\text{mit}\quad u(x)\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)[/mm]
>
> Hallo an alle.
>
> Ich habe gelesen, dass die Eigenfunktionen von [mm]A[/mm] durch
>
> [mm]\varphi_j(x)\,=\,\sqrt{2}\sin(j\pi x)\quad(j=1,\ldots,\infty)[/mm]
>
> und die Eigenwerte von [mm]A[/mm] durch
>
> [mm]\lambda_j\,=\,j^2\pi^2\quad(j=1,\ldots,\infty)[/mm]
>
> gegeben sind, d.h. sie erfüllen die Eigenschaft
>
> [mm]A\varphi_j\,=\,\lambda_j\varphi_j\quad(j=1,\ldots,\infty)[/mm]
Das ist die Lösung für dieses Randwertproblem:
[mm]-\sum_{i=1}^{1}\bruch{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)=-u_{xx}=\lambda * u\left(x\right)[/mm]
[mm]u\left(0\right)=u\left(1\right)=0[/mm]
>
> Aber wenn ich mich jetzt nicht täusche, dann dürften dies
> doch nur die Eigenfunktionen und Eigenwerte für
> [mm]\Omega\subset\IR[/mm] und nicht etwa für [mm]\Omega\subset\IR^n[/mm] mit
> [mm]n>1[/mm] sein, oder? (Denn [mm]\sqrt{2}\sin(j\pi x)[/mm] ist ja nicht
> z.B. für [mm]x\in\IR^2[/mm] definiert). Genauer benötige ich nämlich
> die Eigenfunktionen und Eingenwerte für [mm]n=1,2,3[/mm].
> Falls ich die obigen für [mm]n=2,3[/mm] aber nicht verwenden kann,
> wie sehen dann die für diese Fälle benötigten
> Eigenfunktionen und Eingenwerte aus?
Die kannst Du Dir selber herleiten:
Für n=2 haben wir:
[mm]-\sum_{i=1}^{2}\bruch{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)=-u_{xx}-u_{yy}=\lambda * u\left(x\right)[/mm]
Ist das betrachtetes Gebiet rechteckig, so kann man mit dem Separationsansatz ansetzen:
[mm]u\left(x,y\right)=X\left(x\right)*Y\left(y\right)[/mm]
Natürlich musst Du dann auch die Randbedingungen transformieren.
Für n=3 geht das entsprechend.
>
> Vielen Dank bereits im voraus
> Gruß
Gruß
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