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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Louis |
Gegeben ist eine 2x2 Matrix. Ich habe bereits Eigenwerte bestimmt: diese sind [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2= [/mm] -1.
Nun muss ich die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bestimmen.
Für [mm] \lambda_1=2 [/mm] ist
[mm] A-\lambda*E
[/mm]
[mm] \pmat{ 6 & 18 \\ -3 & -9}
[/mm]
und für [mm] \lambda_2 [/mm] = -1 ist
[mm] \pmat{ 9 & 18 \\ -3 & 6}
[/mm]
Soweit sogut.. Um den Eigenraum zu berechnen, muss ich die entstandene Matrix einfach gleich Null setzen und das LGS lösen.
Ich erhalte irgendwie in beiden Zeilen dann nur noch 0en.
Ich komme an dieser Stelle nicht weiter und möchte gerne die Eigenräume bestimmen.
Kann mir jemand weiterhelfen? Das wäre toll!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Louis,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist eine 2x2 Matrix. Ich habe bereits Eigenwerte
> bestimmt: diese sind [mm]\lambda_1=2[/mm] und [mm]\lambda_2=[/mm] -1.
>
> Nun muss ich die Eigenvektoren zu den Eigenwerten
> bestimmen.
>
> Für [mm]\lambda_1=2[/mm] ist
>
> [mm]A-\lambda*E[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 6 & 18 \\ -3 & -9}[/mm]
>
> und für [mm]\lambda_2[/mm] = -1 ist
>
> [mm]\pmat{ 9 & 18 \\ -3 & 6}[/mm]
Hier muss die Matrix doch so lauten:
[mm]\pmat{ 9 & 18 \\ -3 & \red{-}6}[/mm]
>
> Soweit sogut.. Um den Eigenraum zu berechnen, muss ich die
> entstandene Matrix einfach gleich Null setzen und das LGS
> lösen.
>
> Ich erhalte irgendwie in beiden Zeilen dann nur noch 0en.
>
> Ich komme an dieser Stelle nicht weiter und möchte gerne
> die Eigenräume bestimmen.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen? Das wäre toll!
>
>
Nun, in beiden Fällen hast Du zwei Gleichungen,
die Vielfache voneinander sind.
Somit hast Du nur je eine Gleichung zur Verfügung,
um den zugehörigen Eigenvektor zu bestimmen.
Im Falle [mm]\lambda=2[/mm] ist das die Gleichung
[mm]6*x_{1}+18*x_{2}=0[/mm]
Da Du einer Gleichung in zwei Variablen hast,
kannst Du eine Variable frei wählen.
Somit kannst Du die andere Variable in
Abhängigkeit von der gewählten freien Variable ausdrücken.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Vielen lieben Dank, MathePower, für deine schnelle Antwort.
Leider ist es das, was ich gerade nicht verstehe.
>Im Falle $ [mm] \lambda=2 [/mm] $ ist das die Gleichung
$ [mm] 6\cdot{}x_{1}+18\cdot{}x_{2}=0 [/mm] $
Da Du einer Gleichung in zwei Variablen hast,
kannst Du eine Variable frei wählen.
Somit kannst Du die andere Variable in
Abhängigkeit von der gewählten freien Variable ausdrücken.<
Wie sehen denn die Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten dann aus?
Und wie die Eigenräume, wenn man in einer Gleichung eine Variable frei wählen kann?
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Hiho,
> [mm]6\cdot{}x_{1}+18\cdot{}x_{2}=0[/mm]
> Und wie die Eigenräume, wenn man in einer Gleichung eine
> Variable frei wählen kann?
Nunja, wir wählen mal spontan [mm] x_2 [/mm] und setzen es t, also [mm] $x_2 [/mm] = t$, dann ergibt sich:
[mm] $x_1 [/mm] = -3t$
Somit ist der Lösungsraum $L = [mm] \left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -3 \\ 1}t, t\in \IR\right\}$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Somit ist der Lösungsraum L = [mm] \left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -3 \\ 1}t, t\in \IR\right\}
[/mm]
Ist der Lösungsraum also der Eigenraum, für den ja hier gelten müsste:
Eig (A, 2) = Ker (A - 2E), dh Eig (A,2) = [mm] \left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -3 \\ 1}t, t\in \IR\right\}?
[/mm]
Und für meinen zweiten Eigenwert [mm] \lambda_2=-1 [/mm] ist ja:
[mm] \pmat{ 9 & 18 \\ -3 & -6}
[/mm]
also:
[mm] 9x_1+18x_2 [/mm] = 0
Setze [mm] x_2 [/mm] = t, dann ist [mm] x_1 [/mm] = -2t.
Dann ist der Lösungsraum L = [mm] \left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -2 \\ 1}t, t\in \IR\right\}?
[/mm]
Insgesamt habe ich dann
Eig (A,2) = [mm] \left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -3 \\ 1}t, t\in \IR\right\}
[/mm]
und
Eig (A, -1) = L = [mm] \left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -2 \\ 1}t, t\in \IR\right\}?
[/mm]
Ist das so korrekt?
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Hallo Louis,
> Somit ist der Lösungsraum L = [mm]\left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -3 \\ 1}t, t\in \IR\right\}[/mm]
>
> Ist der Lösungsraum also der Eigenraum, für den ja hier
> gelten müsste:
>
> Eig (A, 2) = Ker (A - 2E), dh Eig (A,2) = [mm]\left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -3 \\ 1}t, t\in \IR\right\}?[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
>
> Und für meinen zweiten Eigenwert [mm]\lambda_2=-1[/mm] ist ja:
>
> [mm]\pmat{ 9 & 18 \\ -3 & -6}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]9x_1+18x_2[/mm] = 0
>
> Setze [mm]x_2[/mm] = t, dann ist [mm]x_1[/mm] = -2t. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann ist der Lösungsraum L = [mm]\left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -2 \\ 1}t, t\in \IR\right\}?[/mm]
Ganz recht!
>
>
> Insgesamt habe ich dann
>
> Eig (A,2) = [mm]\left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -3 \\ 1}t, t\in \IR\right\}[/mm]
>
> und
>
> Eig (A, -1) = L = [mm]\left\{ \vec{x} | \vec{x} = \vektor{ -2 \\ 1}t, t\in \IR\right\}?[/mm]
>
>
> Ist das so korrekt?
Ja, bestens!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Super, vielen lieben Dank für eure schnelle Hilfe! Das habe ich verstanden!
Nun noch zum Abschluss die Frage: ist A diagonalisierbar?
Wie zeige ich das?
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Hallo,
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Du hast nun zwei linear unabhängige Eigenvektoren gefunden und damit eine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] welche aus Eigenvektoren besteht.
Also: diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Danke dir, angela!
Könnte ich denn auch anders argumentieren und die diagonalisierbarkeit zeigen? z.B. mit der Dimension der Eigenräume? oder noch anders?
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Hallo nochmal,
> Danke dir, angela!
>
> Könnte ich denn auch anders argumentieren und die
> diagonalisierbarkeit zeigen? z.B. mit der Dimension der
> Eigenräume? oder noch anders?
Ja, nimm dir irgendeine zu Angelas Definition äquivalente her.
zB. die mit den Dimensionen:
Du hast zwei Eigenwerte mit algebr. Vielfachheit 1 (also 1-fache NST im char. Polynom)
Die jeweils zugeh. Eigenräume haben auch beide Dimension 1 (also geometr. VFH =1)
Und mit alg. VFH = geom. VFH für jeden Eigenwert folgt ebenfalls die Diagonalisierbarkeit
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Ist denn algebr. Vielfachheit 1, wenn ich als X(A)= [mm] t^{2}-t-2 [/mm] habe? Ich dachte, dass das 2 wäre.
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Hallo nochmal,
> Ist denn algebr. Vielfachheit 1, wenn ich als X(A)=
> [mm]t^{2}-t-2[/mm] habe? Ich dachte, dass das 2 wäre.
Nein, die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes [mm] $\lambda$ [/mm] ist die Vielfachheit, mit der [mm] $\lambda$ [/mm] als NST des char. Polynoms auftritt
Hier ist dein char. Polynom [mm] $t^2-t-2=(t+1)\cdot{}(t-2)=(t+1)^{\blue{1}}\cdot{}(t-2)^{\blue{1}}$
[/mm]
Also sind zu beiden Eigenwerten $-1$ und $2$ die algebr. Viefachheiten [mm] $\blue{1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe!!!
zur Übung habe ich jetzt noch D berechnet, was sich aus [mm] P^{-1}*A*P [/mm] ergibt:
also
[mm] \pmat{ -1 & -2 \\ 1 & 3 }\pmat{ 8 & 18 \\ -3 & -7}\pmat{ -3 &-2 \\ 1 & 3 }=
[/mm]
[mm] \pmat{ 2& 0 \\ 0 & -1}
[/mm]
Könnt ihr das bestätigen oder ist das falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 13.12.2009 | | Autor: | Louis |
Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe!!!
zur Übung habe ich jetzt noch D berechnet, was sich aus $ [mm] P^{-1}\cdot{}A\cdot{}P [/mm] $ ergibt:
also
$ [mm] \pmat{ -1 & -2 \\ 1 & 3 }\pmat{ 8 & 18 \\ -3 & -7}\pmat{ -3 &-2 \\ 1 & 3 }= [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 2& 0 \\ 0 & -1} [/mm] $
Könnt ihr das bestätigen oder ist das falsch?
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> Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe!!!
>
>
> zur Übung habe ich jetzt noch D berechnet, was sich aus
> [mm]P^{-1}\cdot{}A\cdot{}P[/mm] ergibt:
>
> also
>
> [mm]\pmat{ -1 & -2 \\ 1 & 3 }\pmat{ 8 & 18 \\ -3 & -7}\pmat{ -3 &-2 \\ 1 & 3 }=[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2& 0 \\ 0 & -1}[/mm]
>
> Könnt ihr das bestätigen oder ist das falsch?
Hallo,
ob die Multiplikation aufgeht, kannst Du ja selbst prüfen.
Die mittlere Matrix soll die sein, die in diesem Thread zu bearbeiten war?
Dann müßte die dritte die Eigenvektoren in den Spalten enthalten, was nicht der Fall ist,
und die erste müßte die inverse zur dritten sein.
Ich vermute Tipfehler.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Louis |
[mm] \pmat{ -1 & -2 \\ 1 & 3 }\pmat{ 8 & 18 \\ -3 & -7}\pmat{ -3 &-2 \\ 1 & [red] 1[/red] }.
[/mm]
Ist es so richtig?
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Hallo Louis,
> [mm]\pmat{ -1 & -2 \\ 1 & 3 }\pmat{ 8 & 18 \\ -3 & -7}\pmat{ -3 &-2 \\ 1 & [red]1[/red] }.[/mm]
>
>
> Ist es so richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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