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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenräume
Eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenräume: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:33 So 05.02.2012
Autor: tomtom10

Aufgabe
Gegeben: lineare Selbstabbildung [mm] \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] beschrieben durch [mm] \delta [/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis durch

[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 3 & 0 \\5 & 0 & 0 & 3 } [/mm]


a) Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenräume der Abbildung [mm] \delta [/mm]
b) Basis aus Eigenvektoren der Abbildung [mm] \delta. [/mm] Wie lautet die Matrix R, mit der die Abbildung [mm] \delta [/mm] hinsichtlich dieser Basis beschrieben wird

a)
Eigenwerte Ergeben sich aus

[mm] P-\lambda*E [/mm] zu

[mm] \lambda=1,-2,3,3 [/mm]



Eigenraum für [mm] \lambda=1 [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\5 & 0 & 0 & 2 } [/mm]

[mm] x_{4}=-\bruch{5}{2}x_{1} [/mm]

[mm] x_{3}=2x_{1} [/mm]

[mm] \Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}} [/mm]

Eigenraum für [mm] \lambda=-2 [/mm]

[mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 5 & 0 \\5 & 0 & 0 & 5 } [/mm]

[mm] x_{4}=-x_{1} [/mm]

[mm] x_{3}=\bruch{4}{5}x_{1} [/mm]

[mm] \Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{4}{5} \\ -1} [/mm]


Eigenraum für [mm] \lambda=3 [/mm]

[mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 0 \\5 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Hier weiss ich nicht weiter, könnt ihr mir helfen ?

        
Bezug
Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 So 05.02.2012
Autor: fred97


> Gegeben: lineare Selbstabbildung [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] beschrieben
> durch [mm]\delta[/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis durch
>  
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 3 & 0 \\5 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
>  
>
> a) Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenräume der
> Abbildung [mm]\delta[/mm]
>  b) Basis aus Eigenvektoren der Abbildung [mm]\delta.[/mm] Wie
> lautet die Matrix R, mit der die Abbildung [mm]\delta[/mm]
> hinsichtlich dieser Basis beschrieben wird
>  a)
> Eigenwerte Ergeben sich aus
>
> [mm]P-\lambda*E[/mm] zu
>  
> [mm]\lambda=1,-2,3,3[/mm]
>  
>
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=1[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\5 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>  
> [mm]x_{4}=-\bruch{5}{2}x_{1}[/mm]
>  
> [mm]x_{3}=2x_{1}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}[/mm]
>  
> Eigenraum für [mm]\lambda=-2[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 5 & 0 \\5 & 0 & 0 & 5 }[/mm]
>  
> [mm]x_{4}=-x_{1}[/mm]
>  
> [mm]x_{3}=\bruch{4}{5}x_{1}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{4}{5} \\ -1}[/mm]
>  
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=3[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 0 \\5 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Hier weiss ich nicht weiter, könnt ihr mir helfen ?


Es ist [mm] x_1=x_2=0 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] sind frei wählbar.

FRED


Bezug
        
Bezug
Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 So 05.02.2012
Autor: angela.h.b.


> Gegeben: lineare Selbstabbildung [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] beschrieben
> durch [mm]\delta[/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis durch
>  
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 3 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
>  
>
> a) Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenräume der
> Abbildung [mm]\delta[/mm]
>  b) Basis aus Eigenvektoren der Abbildung [mm]\delta.[/mm] Wie
> lautet die Matrix R, mit der die Abbildung [mm]\delta[/mm]
> hinsichtlich dieser Basis beschrieben wird
>  a)
> Eigenwerte Ergeben sich aus
>
> [mm]P-\lambda*E[/mm] zu
>  
> [mm]\lambda=1,-2,3,3[/mm]
>  
>
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=1[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>  
> [mm]x_{4}=-\bruch{5}{2}x_{1}[/mm]
>  
> [mm]x_{3}=2x_{1}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}[/mm]

Hallo,

ja, [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}$ [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] \lambda=1. [/mm]

>  
> Eigenraum für [mm]\lambda=-2[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 5 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 5 }[/mm]
>  
> [mm]x_{4}=-x_{1}[/mm]
>  
> [mm]x_{3}=\bruch{4}{5}x_{1}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ \bruch{4}{5} \\ -1}[/mm]

Wie kommst Du darauf?
[mm] x_1 [/mm] muß doch =0 sein.

>  
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=3[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Hier weiss ich nicht weiter, könnt ihr mir helfen ?

s. Fred


Du mußt unbedingt lernen, Matrizen auf Zeilenstufenform zu bringen, um zügig, richtig und systematisch LGSe lösen zu können.

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Eigenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 So 05.02.2012
Autor: tomtom10

danke bisher !
macht alles sinn ^^

somit hätte ich 4 Eigenräume:

[mm] x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}} [/mm]
[mm] x_{2}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] (doppelt)

jetzt muss ich für Eigenvektore [mm] x_{1}-x_{4} [/mm] beliebig wählen und erhalte dadurch 4 Eigenvektoren ?

diese dann als Spaltenvektoren in eine Matrix und ich erhalte R ?


Bezug
                        
Bezug
Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 So 05.02.2012
Autor: MathePower

Hallo tomtom10,

> danke bisher !
>  macht alles sinn ^^
>  
> somit hätte ich 4 Eigenräume:
>  
> [mm]x_{1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{5}{2}}[/mm]
>  
> [mm]x_{2}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm]
> (doppelt)
>  
> jetzt muss ich für Eigenvektore [mm]x_{1}-x_{4}[/mm] beliebig
> wählen und erhalte dadurch 4 Eigenvektoren ?
>


Ja.


> diese dann als Spaltenvektoren in eine Matrix und ich
> erhalte R ?

>


Ebenfalls ja.

  
Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eigenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 So 05.02.2012
Autor: tomtom10

Danke !

In welchen Fällen ist es eigentlich nicht möglich, eine Basis aus Eigenvektoren zu erstellen ?

Bezug
                                        
Bezug
Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 So 05.02.2012
Autor: MathePower

Hallo tomtom10,

> Danke !
>  
> In welchen Fällen ist es eigentlich nicht möglich, eine
> Basis aus Eigenvektoren zu erstellen ?


In denjenigen Fällen, in denen die Matrix nicht diagonalisierbar ist.


Gruss
MathePower

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