Eigenräume AB=BA < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Do 31.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Seien $A$ und $B$ diagonalisierbare $n$ x $n$-Matrizen mit den selben Eigenräumen (aber möglicherweise verschiedenen Eigenwerten). Beweisen Sie, dass $AB=BA$ gilt. |
Hallo Forum,
bei der letzten Hausarbeit habe ich so gut wie keine Hilfe benötigt. Leider sieht es jetzt gerade etwas anders aus :-(
Also, ich weiß, dass $A$ und $B$ diagonalisierbar sind.
Weiter weiß ich, dass die Eigenräume gleich sind.
Hierbei bin ich mir nicht so sicher. Seien [mm] $S_A$ [/mm] und [mm] $S_B$ [/mm] Invertierbaren Matrizen mit denen gilt:
[mm] $A=S_A^{-1} D_A S_A$ [/mm] und [mm] $B=S_B^{-1} D_B S_B$
[/mm]
Dann sind [mm] D_A [/mm] und [mm] D_B [/mm] die Diagonalisierungen von A und B.
So wie ich die Aufgabe verstehe, dann bestehen doch [mm] S_A [/mm] und [mm] S_B [/mm] aus den Eigenvektoren von A und B, wobei ja die Eigenvektoren gleich sein müßten, da diese ja nun das Erzeugendensystem des Eigenraumes bilden.
Ist es dann nicht so, daß sich [mm] S_A [/mm] und [mm] S_B [/mm] nur durch Vertauschung der Spalten unterscheiden müssten?
Würde mich über weitere Gedanken zu der Aufgabe freuen,
Grüße, Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 31.10.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Forum,
ich habe eine Idee entwickelt, könntet Ihr mal gucken, ob ich richtig liege!
Da A und B diagonalisierbar sind, existiert eine invertierbare Matrix S mit der gilt:
[mm] $A=S^{-1}D_A [/mm] S$ und [mm] $B=S^{-1}D_B [/mm] S$
Die Spalten von S bestehen aus den Eigenvektoren von A bzw. B. Da die Eigenräume von A und B gleich sind, sind auch die Eigenvektoren von A und B gleich. Damit kann S auch für beide Diagonalisierungen von A und B gleich sein.
Sei [mm] D_A [/mm] die Diagonalisierung, die aus A gebildet wird und sei [mm] D_B [/mm] die Diagonalisierung von B, dann gilt:
[mm] $A*B=S^{-1}*D_A [/mm] * S [mm] *S^{-1} [/mm] * [mm] D_B [/mm] * S$ [mm] \gdw
[/mm]
[mm] $A*B=S^{-1}*D_A [/mm] * [mm] I_n [/mm] * [mm] D_B [/mm] * S$ [mm] \gdw
[/mm]
[mm] $A*B=S^{-1}*D_A [/mm] * [mm] D_B [/mm] * S$ [mm] \gdw
[/mm]
Grüße,
Micha
Da die Matritzenmultiplikation von Diagonalmatritzen kommutativ ist gilt:
[mm] $A*B=S^{-1}*D_B [/mm] * [mm] D_A [/mm] * S$ [mm] \gdw
[/mm]
[mm] $A*B=S^{-1}*D_B [/mm] * [mm] I_n [/mm] * [mm] D_A [/mm] * S$ [mm] \gdw
[/mm]
[mm] $A*B=S^{-1}*D_B [/mm] * S [mm] *S^{-1} [/mm] * [mm] D_A [/mm] * S$ [mm] \gdw
[/mm]
$A*B=B*A$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Fr 01.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Etwas einfacher: der zugrunde liegende Körper sei K.
Es es gibt eine Basis [mm] b_1,...,b_n [/mm] des [mm] K^n [/mm] und es gibt [mm] r_1,...,r_n,s_1,...,s_n \in [/mm] K mit
[mm] Ab_j=r_jb_j [/mm] und [mm] Bb_j=s_jb_j [/mm] (j=1,...,n)
Dann ist [mm] ABb_j=r_js_jb_j=BAb_j [/mm] (j=1,...,n)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Fr 01.11.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo,
vielen Dank für die Durchsicht. @ Fred, tja so könnte man es sicher auch machen. Bin ich leider nicht drauf gekommen.
Vielen Dank
Micha
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