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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenräume und Basis
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Eigenräume und Basis: Aufgabe, Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Mo 31.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
Bestimme die Basis für die zugehörigen Eigenräume der reellen Matrix A:

$ A = [mm] \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ [/mm]

Wenn ich richtig verstanden habe, dann besteht der Eigenraum zu einem bestimmten Eigenwert aus den entsprechenden Eigenvektoren + dem Nullvektor (der ja kein Eigenvektor sein kann).

Für die Matrix A habe ich die Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] = 3, [mm] \lambda_2 [/mm] = 4 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 5$ berechnet.

Ich löse dann die entsprechenden GLS für $(A - [mm] \lambda_i \cdot E_n)\cdot \vec v_i [/mm] = 0$.

Ich erhalte dann - hoffentlich richtig gerechnet, aber sei dies mal angenommen - folgende Ergebnisse:

[mm] $\lambda_1 [/mm] = 3 => [mm] v_1 [/mm] = (1,1,-1)$
[mm] $\lambda_2 [/mm] = 4 => [mm] v_2 [/mm] = (0,1,0)$
[mm] $\lambda_3 [/mm] = 5 => [mm] v_3 [/mm] = (1,1,1)$

Damit habe ich drei Eigenvektoren angegeben, von denen es jedoch noch weit mehr gibt und die ich mit den Eigenräumen [mm] $V_\lambda_i$ [/mm] darstelle:

[mm] $V_\lambda_1 [/mm] = Kern(A - [mm] \lambda_1 \cdot E_n) [/mm] = [mm] span\{ (1,1,-1) \}$ [/mm]
[mm] $V_\lambda_2 [/mm] = Kern(A - [mm] \lambda_2 \cdot E_n) [/mm] = [mm] span\{ (0,1,0) \} [/mm] $
[mm] $V_\lambda_3 [/mm] = Kern(A - [mm] \lambda_3 \cdot E_n) [/mm] = [mm] span\{ (1,1,1) \} [/mm] $

Passt das?

        
Bezug
Eigenräume und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Mo 31.03.2014
Autor: Sax

Hi,

deine Rechnungen sind alle einwandfrei.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Eigenräume und Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mo 31.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Vielen Dank für die schnelle Bestätigung! :))

Bezug
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