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Hi,
ich habe Probleme bei der Bestimmung von Eigenräumen. Habe den Wikipedia Artikel gelesen und so, aber ich verstehe es nicht wirklich. Kann mir jemand erklären, wie ich den Eigenraum einer Matrix bestimme (vllt. mit einem kleinen Beispiel) und die Dimension des Eigenraums ablesen kann?
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Hallo Dr.Prof.Niemand,
> Hi,
> ich habe Probleme bei der Bestimmung von Eigenräumen.
> Habe den Wikipedia Artikel gelesen und so, aber ich
> verstehe es nicht wirklich. Kann mir jemand erklären, wie
> ich den Eigenraum einer Matrix bestimme (vllt. mit einem
> kleinen Beispiel) und die Dimension des Eigenraums ablesen
> kann?
Besser wär's, du würdest erklären, was genau du nicht verstehst.
Du hast eine Matrix [mm] $A\in \operatorname{Mat}(n\times n,\mathbb{K})$ [/mm] gegeben, stellst das charakteristische Polynom auf mittels
[mm] $\operatorname{det}(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_n)$, [/mm] wobei [mm] $\mathbb{E}_n$ [/mm] die [mm] $n\times [/mm] n$ - Eiheitsmatrix über [mm] $\IK$ [/mm] ist.
Das char. Polynom hat Grad n.
Von diesem Polynom bestimmst du die Nullstellen, das sind die Eigenwerte.
Zu jedem Eigenwert [mm] $\lambda_k$ [/mm] bestimme den [mm] $\operatorname{Kern}$ [/mm] der Matrix [mm] $(A-\lambda_k\cdot{}\mathbb{E}_n)$
[/mm]
Dieser Kern ist der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda_k$, [/mm] irgendein Vektor daraus [mm] (\neq [/mm] 0) ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda_k$.
[/mm]
Die Dimension des Eigenraumes ist wie bei jedem Vektorraum die Anzahl seiner Basisvektoren ...
Ich gebe dir ein einfaches Bsp., an dem du mal rumdoktoren kannst.
Einen Anfang müsstet du nun hinbekommen ...
Nimm mal die symmetrische Matrix [mm] $A=\pmat{1&4\\4&1}$
[/mm]
Nun arbeite mal das Programm step-by-step ab ...
Gruß
schachuzipus
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Danke für deine Antwort.
Char. Polynom:
x(t)=t²-2t+15=(t+3)*(t-5)
Also erhalte ich die Eigenwerte -3 und 5.
Eigenraum zu -3:
ker [mm] \pmat{ 4 & 4 \\ 4 & 4 } [/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & 4 \\ 4 & 4 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=-y
Also ist der Eigenraum zu -3: { [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] }
Also ist die Dimension 1.
Eigenraum zu 5:
ker [mm] \pmat{ -1 & 4 \\ -1 & 4 } [/mm]
[mm] \gdw \pmat{ -1 & 4 \\ -1 & 4 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=5y
Also ist der Eigenraum zu 5: { [mm] \vektor{1 \\ 5} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] }
Also ist die Dimension 1.
Ist das richtig so?
Falls ja, wie kann ich den Vektorraum für diese Lösungen des Gleichungssystems aus ker(A-t*I) berechnen?
Habe hier das Problem, dass die Lösungen in Abhängigkeit von zwei Variablen sind. Also sind hier ja mehrere Lösungsmöglichkeiten....
a=c-e
b=e
c=c
d=e
e=e
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> Danke für deine Antwort.
> Char. Polynom:
> x(t)=t²-2t+15=(t+3)*(t-5)
> Also erhalte ich die Eigenwerte -3 und 5.
>
> Eigenraum zu -3:
> ker [mm]\pmat{ 4 & 4 \\ 4 & 4 }[/mm]
> [mm]\gdw \pmat{ 4 & 4 \\ 4 & 4 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=-y
Hallo,
also haben alle Vektoren des Eigenraumes die gestalt
[mm] \vektor{x\\y}=\vektor{t\\-t}=t*\vektor{1\\-1}.
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{1\\-1} [/mm] eine Basis des Eigenraumes Eig(-3,A).
Der Eigenraum hat die Dimension 1.
Es ist [mm] Eig(-3,A)=<\vektor{1\\-1}>= \{t\vektor{1\\-1} | t\in \IR\}.
[/mm]
> Eigenraum zu 5:
> ker [mm]\pmat{ -1 & 4 \\ -1 & 4 }[/mm]
> [mm]\gdw \pmat{ -1 & 4 \\ -1 & 4 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=5y
??? Was hat Dich hier geritten?
> Falls ja, wie kann ich den Vektorraum für diese Lösungen
> des Gleichungssystems aus ker(A-t*I) berechnen?
> Habe hier das Problem, dass die Lösungen in Abhängigkeit
> von zwei Variablen sind. Also sind hier ja mehrere
> Lösungsmöglichkeiten....
> a=c-e
> b=e
> c=c
> d=e
> e=e
??? Ich verstehe nicht, was Du meinst.
Die bestimmung des Eigenraumes ist doch die Bestimmung des Kerns einer Matrix.
Dazu bringt man die matrix erstmal auf Zeilenstufenform.
Gruß v. Angela
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