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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Do 08.04.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die reellen Matrizen A und B diagonalisierbar sind.
A= [mm] \pmat{ 1 & 16 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 3 },
[/mm]
B= [mm] \pmat{ 1 & 16 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 3 }
[/mm]
Ist A diagonalisierbar?
Ist B diagonalisierbar? |
Hallo liebe Mathe-Freunde,
ich habe Probleme bei der Bestimmung der Eigenräume.
Die Eigenwerte sind durch Lösen des char. Polynoms kein Problem.
Für A sind die Eigenwerte: 1 und 3
Eine Musterlösung habe ich hier vor mir liegen jedoch kann ich sie nicht nachvollziehen.
Nach was wird aufgelöst ? x, y, z? also für das Ergebnis des Eigenraums.
Hier ein Ausschnitt aus der Musterlösung:
v = [mm] (x,y,z)^t [/mm] liegt im Eigenraum zum Eigenwert 1 [mm] \gdw [/mm] Av=v
x + 16y -8z = x
y = y
-4y + 3z = z
[mm] \gdw
[/mm]
16y = 8z
y = y
y = 1/2z
[mm] \gdw
[/mm]
z = 2y [mm] \gdw [/mm] v = [mm] (x,y,2y)^t
[/mm]
Der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist also [mm] span((0,1,2)^t, (1,0,0)^t)
[/mm]
Nach was geht man da vor bei der Bestimmung des Eigenraumes?
Danke im Voraus
und LG ATDT
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 08.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
fangen wir am besten mal langsam an.
Was muss denn gelten, damit eine Matrix diag'bar ist?
Bestimmen wir dann mal die Eigenwerte:
Hierfür gilt:
P(x)=0
P(x) ist das char. Polynom der Matrix und lässt sich wie folgt bestimmen:
P(x)=det(A-xId) für Id (Identität) kann man auch E für Einheitsmatrix schreiben, das ist dem Autor oder der Autorin frei überlassen.
Nehmen wir also mal die Matrix A, dann folgt:
[mm] P(x)=det(\pmat{ 1 & 16 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 3 }-xId)=det\pmat{ 1-x & 16 & -8 \\ 0 & 1-x & 0 \\ 0 & -4 & 3-x }=...
[/mm]
Hier muss jetzt also die Determinante berechnet werden. Da es nur eine 3x3 Matrix ist, ist dies relativ simple und bleibt dir überlassen.
Dein Ergebnis musst du dann gleich 0 setzen, also die Nullstellen des char. Polynoms bestimmen. Wenn du das dann gemacht hast, gucken wir uns die Eigenräume an ok?
Gruß Fawkes
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