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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mo 08.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
die Zeilenvektoren einer Matrix spannen einen Spat auf
-beim Vertauschen zweier Zeilen ändert sich das Volumen des Spats nicht
-streckt man einen Zeilenvektor mit einem Faktor t so ändert sich das
Volumen mit dem Faktor |t|
-addiert man zu einem Zeilenvektor t mal einen anderen so bleibt das Volumen gleich also:
[mm] vol(a_1,...,a_k,...,a_l+ta_k,....,a_n)=vol(a_1,...,a_k,...,a_l,....,a_n) [/mm]
Also die ersten beiden Eigenschaften sind mir absolut klar, die dritte kann ich überhaupt nicht einsehen.
In meinem Skript steht das, als wäre es völlig klar! Wahrscheinlich ist es das auch, aber wie gesagt, mir leider nicht.
vielen dank für erklärungen
gruß
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> Hallo,
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> die Zeilenvektoren einer Matrix spannen einen Spat auf
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> -beim Vertauschen zweier Zeilen ändert sich das Volumen des
> Spats nicht
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> -streckt man einen Zeilenvektor mit einem Faktor t so
> ändert sich das
> Volumen mit dem Faktor |t|
>
> -addiert man zu einem Zeilenvektor t mal einen anderen so
> bleibt das Volumen gleich also:
>
> [mm]vol(a_1,...,a_k,...,a_l+ta_k,....,a_n)=vol(a_1,...,a_k,...,a_l,....,a_n)[/mm]
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> Also die ersten beiden Eigenschaften sind mir absolut klar,
> die dritte kann ich überhaupt nicht einsehen.
> In meinem Skript steht das, als wäre es völlig klar!
> Wahrscheinlich ist es das auch, aber wie gesagt, mir leider
> nicht.
Hi,
also ich gehe davon aus, dass du schon verstanden hast was diese Eigenschaft aussagt und du nicht wirklich verstehst warum das so ist.
Dies kann man aber ganz einfach zeigen. Es seien nun die [mm] $a_i$s [/mm] Zeilenvektoren. Dann gilt:
$vol [mm] \vektor{... \\ a_i + k*a_j \\ ... \\ a_j \\ ...} [/mm] = vol [mm] \vektor{... \\ a_i \\ ... \\ a_j \\ ...} [/mm] + k * vol [mm] \vektor{... \\ a_j \\ ... \\ a_j \\ ...} [/mm] = vol [mm] \vektor{... \\ a_i \\ ... \\ a_j \\ ...}$
[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund der Linearität in jeder Zeile. Das zweite Gleichheitszeilen kommt zustanden, da das Volumen des zweiten Vektors Null ist, wegen zwei identischen Zeilen.
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> vielen dank für erklärungen
> gruß
>
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 09.09.2008 | | Autor: | vivo |
danke erstmal!
aber dass hilft mir leider noch nicht wirklich, da mir dies schon bewusst war.
die von dir gezeigten beziehungen sind in meinem skript mit hilfe der leibnizformel gezeigt.
ist ja auch ok soweit. ich wollte eher wissen warum es laut meinem skript so offensichtlich ist, dass das volumen des spats sich nicht ändert wenn zu einem der aufspannenden vektoren das vielfache eines anderen addiert wird.
wie gesagt dass das volumen bei zeilenvertauschung gleich bleibt und dass es sich mit dem faktor t ändert wenn man einen vektor mit t streckt ist klar und auch offensichtlich, aber warum es gleich bleibt in diesem fall kann ich nicht sehen.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Di 09.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Man könnte das mit dem ![[]](/images/popup.gif) Prinzip von Cavalieri erklären.
Stell' dir vor du hast 'nen Quader. Und jetzt "drückst du an ihm rum", so dass die Kanten keine 90 Grad Winkel mehr zueinander haben. Dann hat dieser neue Körper dasselben Volumen wie der Quader. Und dieses "Kanten schräg stellen" ist genau dieses Addieren von Vielfachen von anderen Kanten.
edit: Bei dem ganzen "rumgedrücke" an dem Körper darfst du natürlich nur so die Kanten verschieben, dass du immer noch einen Spat hast (also parallele gegenüberliegende Kanten), sonst stimmt das natürlich nicht (aber dann kannste ja auch nicht die Formel mit der Determinante nicht benutzen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Di 09.09.2008 | | Autor: | vivo |
hey danke!
das war exakt das problem ... aber jetzt ist's klar!
gruß
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