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Guten Abend
Leider kenne ich nicht das deutsche Wort von "convex Cone", es sollte wohl so etwas wie konvexer Kegel sein. Mathematisch: Eine Menge $C$ ist ein convex cone wenn für alle Skalare $a,b$ und Punkte [mm] $x,y\in [/mm] C$ gilt: [mm] $ax+by\in [/mm] C$.
Nun sei [mm] $C\subset L^p$ [/mm] ein convex cone mit [mm] $C\superset [/mm] -L_+^p$ und [mm] $C\cap L^p_+=\{0\}$, [/mm] wobei [mm] $L^p_+$ [/mm] alle nicht negativen Funktionen sind, welche $p$ integrierbar sind. Die zugrundeliegende Menge ist ein Wahrscheinlichkteisraum. Nun konnte ich zeigen, dass für $q$, der konjugierte Exponent von $p$ gilt: Es gitb ein [mm] $g\in L^q$ [/mm] so dass
[mm] $$\alpha\ge E[fg]\forall f\in [/mm] C$$
Nun wird behauptet: Da $C$ ein cone ist, können wir [mm] $\alpha=0$ [/mm] wählen. Wieso? Es muss etwa ganz einfaches sein, aber ich überleg nun schon eine ganze weile und komm nicht auf die Lösung. Ich danke euch für eure Hilfe.
Liebe Grüsse
marianne88
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> Guten Abend
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> Leider kenne ich nicht das deutsche Wort von "convex Cone",
> es sollte wohl so etwas wie konvexer Kegel sein.
Ja, das sollte schon passen. Allerdings ist da der
Begriff "Kegel" in ziemlich spezieller Art aufzufassen.
C soll ein Vektorraum sein und die "Spitze" des Kegels
im dessen Ursprung liegen.
> Mathematisch: Eine Menge [mm]C[/mm] ist ein convex cone wenn für
> alle Skalare [mm]a,b[/mm] und Punkte [mm]x,y\in C[/mm] gilt: [mm]ax+by\in C[/mm].
Hallo marianne88 ,
ich zweifle an dieser Definition !
Für die zugelassenen Werte von a und b sollten da
bestimmt noch gewisse Einschränkungen angegeben
sein. Andernfalls kommt da nicht immer ein konvexer
Kegel raus.
LG , Al-Chwarizmi
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Guten Abend
Du hast natürlich recht, die Skalare müssen positiv sein. Entschuldige. Wieso folgt nun diese Eigenschaft?
Liebe Grüsse
marianne88
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 19.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mi 20.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend
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> Leider kenne ich nicht das deutsche Wort von "convex Cone",
> es sollte wohl so etwas wie konvexer Kegel sein.
Das ist ja geklärt.
> Mathematisch: Eine Menge [mm]C[/mm] ist ein convex cone wenn für
> alle Skalare [mm]a,b[/mm] und Punkte [mm]x,y\in C[/mm] gilt: [mm]ax+by\in C[/mm].
Dass das nicht korrekt ist, ist auch schon geklärt.
>
> Nun sei [mm]C\subset L^p[/mm] ein convex cone mit [mm]C\superset -L_+^p[/mm]
??????
Was hat es genau mit der Menge [mm]C\superset -L_+^p[/mm] auf sich ?
> und [mm]C\cap L^p_+=\{0\}[/mm], wobei [mm]L^p_+[/mm] alle nicht negativen
> Funktionen sind, welche [mm]p[/mm] integrierbar sind. Die
> zugrundeliegende Menge ist ein Wahrscheinlichkteisraum. Nun
> konnte ich zeigen, dass für [mm]q[/mm], der konjugierte Exponent
> von [mm]p[/mm] gilt: Es gitb ein [mm]g\in L^q[/mm] so dass
>
> [mm]\alpha\ge E[fg]\forall f\in C[/mm]
?????
Wie lautet die Aussage ? Etwa so: es gibt ein [mm] \alpha \in \IR [/mm] und ein [mm] g\in L^q[/mm] [/mm] so dass
[mm]\alpha\ge E[fg]\forall f\in C[/mm] ?
Oder doch anders ? Wo kommt [mm] \alpha [/mm] her ?
Was ist mit E[fg] gemeint ?
FRED
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> Nun wird behauptet: Da [mm]C[/mm] ein cone ist, können wir [mm]\alpha=0[/mm]
> wählen. Wieso? Es muss etwa ganz einfaches sein, aber ich
> überleg nun schon eine ganze weile und komm nicht auf die
> Lösung. Ich danke euch für eure Hilfe.
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne88
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Guten Tag fred
Das ganze kommt von einem Theorem von Kreps/Yan in der stochastischen Analysis, genauer Finanzmathematik zum Thema Arbitragefreiheit von Märkten. Die Menge $C$ ist ein convexer Cone und abgeschlossen in der schwachen Topologie [mm] $\sigma(L^p,L^q)$. [/mm] Wie bereits gesagt, gilt [mm] $C\subset L^p$ [/mm] und [mm] $C\supset [/mm] -L_+^p$ sowie [mm] $C\cap L_+^p=\{0\}$. [/mm] Der erste Schritt im Beweis sagt nun: Sei [mm] $x\in L^p_+\backslash \{0\}$, [/mm] dann sagt uns Hahn-Banach's Seperations Theorem, dass es ein [mm] $g_x\in L^q$ [/mm] gibt sodass:
[mm] $$E[xg_x]\ge\beta [/mm] > [mm] \alpha \ge E[fg_x] \forall f\in [/mm] C$$
Wobei [mm] $E[f]=\int f\mu(dx)$, [/mm] also der Erwartungswert ist. (Zugrundeliegender Raum ist ein Wahrscheinlichkeitsraum). Jetzt wird behauptet, da $C$ ein cone ist, können wir [mm] $\alpha=0$ [/mm] wählen. Und genau diese Aussage sehe ich nicht ganz ein.
Danke für eure Hilfe
Liebe Grüsse
marianne88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Mi 20.03.2013 | | Autor: | marianne88 |
Ich glaube ich konnte es zeigen: Ich weiss ja:
[mm] $\alpha\ge [/mm] E[fg] [mm] \forall f\in [/mm] C$
Das folgt vom Seperationstheorem von Hahn-Banach. In diesem ist ja [mm] $\alpha=\sup_{f\in C} [/mm] E[fg]$. Da aber [mm] $0\in [/mm] C$ gilt insbesondere [mm] $\alpha\ge [/mm] 0$. Wieso in unserem Skript steht, wegen der Eigenschaft des cones verstehe ich zwar nicht. Aber ich denke, so kann man das beweisen. Richtig?
Liebe Grüsse
marianne88
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 20.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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