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| Aufgabe | Es seien A und B Matrizen und [mm] \parallel [/mm] · [mm] \parallel [/mm] eine abgeleitete Matrix-Norm. Beweisen Sie folgende
Eigenschaften:
i) [mm] \parallel A\parallel \ge [/mm] 0
ii) [mm] \parallel A\parallel [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] A = 0
iii) [mm] \parallel\alpha A\parallel [/mm] = [mm] |\alpha|\parallel A\parallel
[/mm]
iv) [mm] \parallel [/mm] A + [mm] B\parallel \le \parallel A\parallel [/mm] + [mm] \parallel B\parallel
[/mm]
v) [mm] \parallel Ax\parallel \le \parallel A\parallel [/mm] * [mm] \parallel x\parallel
[/mm]
vi) [mm] \parallel [/mm] A * B [mm] \parallel \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] B [mm] \parallel [/mm] |
also wenn ich das richtig verstanden hab, ist die matrixnorm, einfach die summe von der vektornorm der zeilenvektoren
i) und ii) scheinen ganz logisch weil nur beträge addiert werden
für v) hätt ich zb [mm] \parallel Ax\parallel [/mm] = [mm] \summe_{i}^{} [/mm] |Ai#x| [mm] \le \summe_{i}^{} [/mm] ||Ai#^T|| [mm] ||x||=\parallel A\parallel [/mm] * [mm] \parallel x\parallel
[/mm]
und für
[mm] \parallel [/mm] A * B [mm] \parallel [/mm] = [mm] \summe_{j}^{} [/mm] ||AB#j|| [mm] \le \summe_{j}^{} [/mm] ||A|| ||B#j||= [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] B [mm] \parallel
[/mm]
kann man das so in der art machen?
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> Es seien A und B Matrizen und [mm]\parallel[/mm] · [mm]\parallel[/mm] eine
> abgeleitete Matrix-Norm. Beweisen Sie folgende
> Eigenschaften:
> i) [mm]\parallel A\parallel \ge[/mm] 0
> ii) [mm]\parallel A\parallel[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] A = 0
> iii) [mm]\parallel\alpha A\parallel[/mm] = [mm]|\alpha|\parallel A\parallel[/mm]
>
> iv) [mm]\parallel[/mm] A + [mm]B\parallel \le \parallel A\parallel[/mm] +
> [mm]\parallel B\parallel[/mm]
> v) [mm]\parallel Ax\parallel \le \parallel A\parallel[/mm]
> * [mm]\parallel x\parallel[/mm]
> vi) [mm]\parallel[/mm] A * B [mm]\parallel \le \parallel[/mm]
> A [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] B [mm]\parallel[/mm]
> also wenn ich das richtig verstanden hab, ist die
> matrixnorm, einfach die summe von der vektornorm der
> zeilenvektoren
Hallo,
"summe von der vektornorm der zeilenvektoren" verstehe ich nicht. was meinst Du damit?
> i) und ii) scheinen ganz logisch weil nur beträge addiert
> werden
Werden es?
Ich glaube, Du solltest erstmal nachlesen, wie Ihr "abgeleitete Matrixnorm" definiert habt.
Wenn es das ist, was ich glaube, dann ist es das, was Du in der Literatur unter "von einer Vektornorm induzierte Matrixnorm" findest, und ich denke, daß Du zum Lösen der Aufgabe die Def. wirst verwenden müssen.
Jede Vektornorm induziert eine Matrixnorm, und vielleicht wolltest Du oben ausdrücken, daß die Zeilensummennorm die von der Maximumnorm induzierte Matrixnorm ist.
Das ist ein Beispiel dafür, daß eine Vektornorm eine Matrixnorm induziert.
Hier mußt Du aber damit arbeiten, daß Du eine von einer beliebigen Vektornorm induzierte Matrixnorm vorliegen hast. Jedenfalls verstehe ich das so.
Gruß v. Angela
> für v) hätt ich zb [mm]\parallel Ax\parallel[/mm] = [mm]\summe_{i}^{}[/mm]
> |Ai#x| [mm]\le \summe_{i}^{}[/mm] ||Ai#^T|| [mm]||x||=\parallel A\parallel[/mm]
> * [mm]\parallel x\parallel[/mm]
> und für
> [mm]\parallel[/mm] A * B [mm]\parallel[/mm] = [mm]\summe_{j}^{}[/mm] ||AB#j|| [mm]\le \summe_{j}^{}[/mm]
> ||A|| ||B#j||= [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] B
> [mm]\parallel[/mm]
> kann man das so in der art machen?
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oje danke, hab ausversehn auf die definition von Frobenius-norm geguckt
aber mit der def von abgeleiterte matrixnorm kann ich garnix mit anfangen
[mm] ||A||=sup||Ax||(||x=1||)=sup\bruch{\parallel Ax \parallel }{\parallel x\parallel }
[/mm]
[mm] x\not=0
[/mm]
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> oje danke, hab ausversehn auf die definition von
> Frobenius-norm geguckt
> aber mit der def von abgeleiterte matrixnorm kann ich
> garnix mit anfangen
Hallo,
mit dieser "Frage" kann ich nun wiederum nicht viel anfangen. ..
Wo liegt denn Dein Problem?
> [mm]||A||=sup||Ax||(||x=1||)=sup\bruch{\parallel Ax \parallel }{\parallel x\parallel }[/mm]
>
> [mm]x\not=0[/mm]
Als gegeben darfst Du Vektornorm mit ihren Eigenschaften voraussetzen.
Mithilfe dieser Vektornorm wird nun oben eine Matrixnorm definiert.
daß es sich wirklich um eine Norm handelt, beweist Du unter (i)-(iv).
Die Def. oben sagt Dir, wie Du die Norm einer Matrix A berechnen sollst:
Du schaust Dir für alle Vektoren der Norm 1 die Norm des Vektors Ax an. Die größte dieser Zahlen ist definitionsgemäß die Norm der Matrix A.
Gruß v. Angela
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