Eigenschaften adjugierter Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:34 So 13.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer bzw. unitärer [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und [mm] \varphi [/mm] ein Endomorphismus von V mit der zugehörigen adjungierten Abbildung [mm] \varphi^{\*}.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) [mm] tr(\varphi\circ\varphi^{\*})\ge [/mm] 0 und [mm] (tr(\varphi\circ\varphi^{\*})=0\gdw\varphi [/mm] = 0)
b) [mm] det(\varphi\circ\varphi^{\*})\ge [/mm] 0 und [mm] (tr(\varphi\circ\varphi^{\*})=0\gdw\varphi [/mm] ist nicht invertierbar) |
Sei [mm] M:=m_{ij}, m\in\IK, i,j\in\IN [/mm] die darstellende Matrix zu [mm] \varphi [/mm] und entsprechend [mm] M^T [/mm] die darstellende Matrix zu [mm] \varphi^{\*}.
[/mm]
a) [mm] tr(\varphi\circ\varphi^{\*})\Rightarrow tr(M*M^T). [/mm] Die Diagonalelemente berechnen sich wie folgt:
[mm] x\in (M*M^T)
[/mm]
[mm] x_{ii}=m_{i1}^2+m_{i2}^2+m_{i3}^2+...+m_{in}^2
[/mm]
Soweit komme ich klar. Dann habe ich aber das Problem, dass ich ja eigentlich keine Ordnung auf [mm] \IC [/mm] definiert habe. Also die Aufgabe nur Sinn macht, wenn gilt: [mm] m_{ij}\in\IR [/mm]
Dann kann ich einfach argumentieren:
[mm] r^2\ge [/mm] 0 [mm] \forall r\in\IR
[/mm]
Und eine Summe positiver Einträge ist immer positiv.
Dann der Fall "=0"
Da alle [mm] x_{ii} [/mm] positiv sind kann "=0" nur dann gelten, wenn alle [mm] x_{ii}=0.
[/mm]
[mm] \Rightarrow\summe_{j=1}^{n}(m_{ij}^2)=0
[/mm]
Da aber [mm] m_{ij}\in\IR [/mm] gilt wieder [mm] m_{ij}^2\ge [/mm] 0
und damit auch wieder, dass die Summe nur 0 sein kann wenn alle Elemente 0 sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] M=(0).
Reicht das dann so? Oder fehlt der Fall [mm] m_{ij}\in\IC [/mm] und wenn ja wie mache ich das da dann? Da mir ja wie oben erwähnt die Ordnung fehlt.
b) Ich habe mir überlegt:
[mm] det(\varphi\circ\varphi^{\*})\Rightarrow det(M*M^T)=det(M)*det(M^T)=det(M)^2, [/mm] da [mm] det(M)=det(M^T)
[/mm]
jetzt habe ich wieder das gleiche Problem wie bei a) mit [mm] \IC [/mm] und der nicht definierten Ordnung.
Wenn [mm] m_{ij}\in\IR [/mm] kann ich wieder sagen [mm] det(M)\in\IR\Rightarrow det(M)^2\ge [/mm] 0.
Und Gleicheit folgt daraus, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist. Also gilt genau dann, wenn [mm] \varphi [/mm] und damit M nicht invertierbar ist: det(M)=0 und damit [mm] det(M)^2=0^2=0.
[/mm]
Hier wieder die Frage bezüglich [mm] \IC.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 16.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
