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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Di 25.05.2010 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Sei u: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R} [/mm] streng monoton wachsend und zweimal stetig differenzierbar. Außerdem gelte für [mm] a\in \mathbb{R} [/mm] und d>0 beliebig, dass [mm] \bruch{u'(a+d)}{u'(a)} [/mm] unabhängig von a ist.
Zu zeigen: u' ist exponential. |
Hallo!
Diese Eigenschaft, dass u' exponential ist muss ja irgendwie aus der Monotonie folgen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das so schwer ist, aber im Moment sehe ich es einfach nicht. Kann mir da jemand helfen?
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 25.05.2010 | | Autor: | wauwau |
betrachte mal das existierende
[mm] $\bruch{u"(a)}{u'(a)}= \limes_{d\rightarrow 0+}\bruch{u'(a+d)-u'(a)}{du'(a)} [/mm] = [mm] \limes_{d\rightarrow 0+}\bruch{1}{d}(\bruch{u'(a+d)}{u'(a)}-1)$
[/mm]
aufgrund der Voraussetzung ist die rechte Seite unabhängig von a aber existent also eine konstante C und aufgrund der str. Monotonie ungleich 0
links steht aber nichts anderes als [mm] $\bruch{dln(u'(a))}{da}$ [/mm] also die Ableitung von $ln(u'(a)$
jetzt brauchst du nur mehr die Differentialgleichung
$(ln(u'(a)))'=C $ lösen und du kommst auf
[mm] $u(x)=\bruch{1}{c}e^{cx+d}+f [/mm] $
mit beliebigen konstanten d,f
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Kati |
Etwas verspätet aber trotzdem: Danke!
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