Eigenschaften einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Fr 27.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich hab einige Probleme damit zu entscheiden, wie sich Eigenschaften einer Funktion auf eine andere vererben.
Ich betrachte zunächst eine Funktion $f: [0,1] [mm] \to \IR$. [/mm]
Für diese existiere eine Erweiterung, welche auf einer offenen Umgebung U, mit $[0,1] [mm] \subseteq [/mm] U$, 2 mal stetig diff'bar sei.
Nun bastele ich mir eine neue Funktion $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] durch f.
Dazu definiere ich mir
1) die Intervalle: [mm] $I_k:=[k, [/mm] k+1]$,
2) eine Abbildung [mm] $L_k:[0,1] \to I_k$, [/mm] wobei
[mm] $L_k(x):=\begin{cases} k+x, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ k+1-x, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] und letztlich:
3) die Funktion g mit [mm] g(x):=f(L_k^{-1}(x)), [/mm] falls x [mm] \in I_k.
[/mm]
Die Funktion g ist mit dieser Definition wohldefiniert, allerdings was sonst kann ich über g sagen, ist auch g 2mal stetig diff'bar und falls ja, wie zeige ich das formal?
EDIT: Ich sehe schon, dass ich eine wichtige Eigenschaft von f brauche, weil sonst die Diff'barkeit direkt nicht funktioniert. Und zwar verlaufe f "gerade" am Rand, also verändere dort nicht mehr die Richtung.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Fr 27.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Dester!
> ich hab einige Probleme damit zu entscheiden, wie sich
> Eigenschaften einer Funktion auf eine andere vererben.
>
> Ich betrachte zunächst eine Funktion [mm]f: [0,1] \to \IR[/mm].
> Für diese existiere eine Erweiterung, welche auf einer
> offenen Umgebung U, mit [mm][0,1] \subseteq U[/mm], 2 mal stetig
> diff'bar sei.
>
> Nun bastele ich mir eine neue Funktion [mm]g: \IR \to \IR[/mm] durch
> f.
> Dazu definiere ich mir
> 1) die Intervalle: [mm]I_k:=[k, k+1][/mm],
> 2) eine Abbildung
> [mm]L_k:[0,1] \to I_k[/mm], wobei
> [mm]$L_k(x):=\begin{cases} k+x, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\
k+1-x, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
> und letztlich:
> 3) die Funktion g mit [mm]g(x):=f(L_k^{-1}(x)),[/mm] falls x [mm]\in I_k.[/mm]
>
> Die Funktion g ist mit dieser Definition wohldefiniert,
> allerdings was sonst kann ich über g sagen, ist auch g
> 2mal stetig diff'bar und falls ja, wie zeige ich das
> formal?
Problematisch ist die Differenzierbarkeit nur in den Punkten von [mm] $\IZ$. [/mm] Und wenn du dir $g$ anschaust, wirst du sehen, dass $g$ periodisch mit Periode 2 ist. Du brauchst dir also nur die Differenzierbarkeit in $x = 0$ und $x = 1$ anzuschauen: wenn die Abbildung dort zweimal stetig diffbar ist, ist sie es auf ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
> EDIT: Ich sehe schon, dass ich eine wichtige Eigenschaft
> von f brauche, weil sonst die Diff'barkeit direkt nicht
> funktioniert. Und zwar verlaufe f "gerade" am Rand, also
> verändere dort nicht mehr die Richtung.
Ja, du brauchst mindestens $f'(0) = f'(1) = 0$, damit $g$ ueberhaupt einmal stetig differenzierbar ist.
In einer kleinen Umgebung von $x = 0$ ist die Funktion links von 0 durch $g(x) = f(-x)$ gegeben, und rechts von 0 durch $g(x) = f(x)$. Damit sie in 0 diffbar ist, muss also $f'(0) = 0$ sein.
Die Ableitung bei $x = 0$ ist jetzt links von 0 gleich $-f'(-x)$, rechts von 0 gleich $f'(x)$. Wegen $f'(0) = 0$ folgt also dass die Ableitung stetig ist.
Ist sie auf diffbar? Links von 0 ist die zweite Ableitung gleich $f''(-x)$, rechts von 0 ist sie gleich $f''(x)$. Damit (und wegen der Stetigkeit von $f''$) folgt, dass $g$ zweimal in 0 diffbar ist und dass $g''$ in 0 stetig ist.
Aehnlich kannst du jetzt in $x = 1$ argumentieren.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Sa 28.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke Felix für deine Antwort.
Ich möchte diese Idee nun ins mehrdimensionale übertragen.
Grob skizziert: Meine Funktion f lebe auf [mm] $[0,1]^n$ [/mm] und g auf [mm] $\IR^n$, [/mm] ich konstruiere mir dann schließlich kartesische Produkte von Intervallen [mm] $[k,k+1]_i$ [/mm] und die Abbildung L komponentenweise für jede Koordinate [mm] $x_i$ [/mm] von $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] wie im eindimensionalen Fall.
Ich frage mich was für eine Voraussetzung nun für den Gradienten am Rand gelten muss, damit g wieder 2mal stetig diff'bar bleibt.
Intuitiv würde ich sagen, dass der Gradient nicht zwingend Null sein muss (wie im eindim. Fall). Würde es nicht genügen, wenn er "gerade" verläuft am Rand, sprich seine Richtung nicht ändert, allenfalls seine Länge?
Über eine weiteren Denkanstoß würd ich mich sehr freuen.
Vielen Dank nochmals, Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 28.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Dester!
> Ich möchte diese Idee nun ins mehrdimensionale
> übertragen.
> Grob skizziert: Meine Funktion f lebe auf [mm][0,1]^n[/mm] und g
> auf [mm]\IR^n[/mm], ich konstruiere mir dann schließlich
> kartesische Produkte von Intervallen [mm][k,k+1]_i[/mm] und die
> Abbildung L komponentenweise für jede Koordinate [mm]x_i[/mm] von [mm]x \in \IR^n[/mm]
> wie im eindimensionalen Fall.
Definieren wir mal $L(x) := [mm] L_k(x)^{-1}$ [/mm] falls $x [mm] \in I_k$. [/mm] Das macht das ganze etwas einfacher.
Dann ist also [mm] $g(x_1, \dots, x_n) [/mm] = [mm] f(L(x_1), \dots, L(x_n))$.
[/mm]
> Ich frage mich was für eine Voraussetzung nun für den
> Gradienten am Rand gelten muss, damit g wieder 2mal stetig
> diff'bar bleibt.
Ich kann mir gut vorstellen, dass es reicht wenn jeweils die partielle Ableitung in die "richtige Richtung" gleich 0 ist.
Also auf dem Rand [mm] $x_i [/mm] = 0$ bzw. [mm] $x_i [/mm] = 1$ muss [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i} [/mm] = 0$ sein.
Versuch es doch mal im [mm] $\IR^2$ [/mm] explizit fuer [mm] $x_1 [/mm] = 0$ nachzurechnen, und dann explizit fuer [mm] $x_1 [/mm] = 1$. Wenn da alles funktioniert, sollte es auch fuer allgemeines $n$ und $i$ funktionieren, vermute ich mal, und du kannst vermutlich den Beweis / die Rechnung recht einfach verallgemeinern.
Wenn es nicht funktioniert, bekommst du eventuell weitere Bedingungen an den Gradienten, mit denen es schliesslich funktionieren sollte.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mo 30.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke Felix.
Ich schau mir das nochmal an. :)
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