Eigenschaften stetiger Funktio < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Do 17.12.2009 | | Autor: | Martin89 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Begründe deine Antwort.
(a) Es existiert eine auf $[a,b]$ stetige Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $D(f) = [a,b]$ und $B(f) = [mm] (-\infty,+\infty)$.
[/mm]
(b) Es existiert eine auf $[a,b]$ stetige Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $D(f) = [a,b]$ und $B(f) = (c,d)$.
(c) Es existiert eine auf $[a,b]$ stetige Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $D(f) = [a,b]$ und $B(f) = [mm] [0,1]\cup[3,4]$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiss nicht genau wo ich anfangen soll.
Es geht hier wohl um die Stetigkeit der Umkehrfunktion: [mm] B(f)=D(f^{-1})?
[/mm]
Heisst das, dass ich eine Funktion finden muss, deren Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}:[f(a),f(b)]\to\IR$ [/mm] auf dem vorgegebenen Intervall stetig ist ?
Ich bin etwas verwirrt, hoffe dass mir jemand helfen könnte :)
Danke im Voraus,
Martin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Do 17.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch?
> Begründe deine Antwort.
>
> (a) Es existiert eine auf [mm][a,b][/mm] stetige Funktion [mm]f : \IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]D(f) = [a,b][/mm] und [mm]B(f) = (-\infty,+\infty)[/mm].
> (b) Es
> existiert eine auf [mm][a,b][/mm] stetige Funktion [mm]f : \IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]D(f) = [a,b][/mm] und [mm]B(f) = (c,d)[/mm].
> (c) Es existiert eine
> auf [mm][a,b][/mm] stetige Funktion [mm]f : \IR \to \IR[/mm] mit [mm]D(f) = [a,b][/mm]
> und [mm]B(f) = [0,1]\cup[3,4][/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Ich weiss nicht genau wo ich anfangen soll.
> Es geht hier wohl um die Stetigkeit der Umkehrfunktion:
> [mm]B(f)=D(f^{-1})?[/mm]
>
> Heisst das, dass ich eine Funktion finden muss, deren
> Umkehrfunktion [mm]f^{-1}:[f(a),f(b)]\to\IR[/mm] auf dem
> vorgegebenen Intervall stetig ist ?
>
> Ich bin etwas verwirrt, hoffe dass mir jemand helfen
> könnte :)
Hallo,
bei den ersten beiden Funktionen reicht die Angabe eines Beispiels aus.
Im ersten Fall bietet sich eine Tangensfuntion an. Die "normale" Tangensfunktion ist im Bereich [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] \pi/2 [/mm] stetig und hat Funktionswerte von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty.
[/mm]
Mit einer kleinen Transformation überführst du [mm] -\pi/2 [/mm] in a und [mm] \pi/2 [/mm] in b.
Im zweiten Fall genügt als Beispiel eine lineare Fuktion, deren Graph durch die Punkte (a,c) und (b,d) verläuft.
Im dritten Fall kann man argumentieren, warum das Überspringen der "Lücke" mit einer stetigen Funktion nicht möglich ist.
Gruß Abakus
>
> Danke im Voraus,
> Martin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 10.01.2010 | | Autor: | Martin89 |
> Hallo,
> bei den ersten beiden Funktionen reicht die Angabe eines
> Beispiels aus.
> Im ersten Fall bietet sich eine Tangensfuntion an. Die
> "normale" Tangensfunktion ist im Bereich [mm]-\pi/2[/mm] bis [mm]\pi/2[/mm]
> stetig und hat Funktionswerte von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty.[/mm]
Tangens ist aber im Bereich [mm] $(-\pi/2,\pi/2)$ [/mm] stetig oder nicht ? also nicht abgeschlossenes Intervall. Gesucht ist aber die Funktion mit $D(f)=[a,b]$. Oder hab ich jetzt was falsch verstanden ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 10.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Hallo,
> > bei den ersten beiden Funktionen reicht die Angabe eines
> > Beispiels aus.
> > Im ersten Fall bietet sich eine Tangensfuntion an. Die
> > "normale" Tangensfunktion ist im Bereich [mm]-\pi/2[/mm] bis [mm]\pi/2[/mm]
> > stetig und hat Funktionswerte von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty.[/mm]
>
> Tangens ist aber im Bereich [mm](-\pi/2,\pi/2)[/mm] stetig oder
> nicht ? also nicht abgeschlossenes Intervall.
Exakt.
> Gesucht ist aber die Funktion mit [mm]D(f)=[a,b][/mm].
Genau.
> Oder hab ich jetzt was falsch verstanden ?
Nein, hast du nicht.
Alle drei Aussagen (a)-(c) sind falsch, wie Fred sagt.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Martin89 |
Vielen dank !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Fr 18.12.2009 | | Autor: | fred97 |
In allen 3 Fällen steht da
" $ f : [mm] \IR \to \IR [/mm] $ mit $ D(f) = [a,b] $"
Ja was jetzt ? ist f auf [mm] \IR [/mm] definiert oder auf [a,b] ???
Wenn ich von $ D(f) = [a,b] $ als Definitionsbereich ausgehe, so gilt für den Bildbereich $B(f) = f( [a,b]) $ folgendes:
Da f stetig ist , ist B(f) wieder ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall.
in diesem Fall sind also alle 3 Aussagen falsch
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mi 23.12.2009 | | Autor: | Martin89 |
Danke für die beiden Antworten, sind etwas unterschiedlich, aber geben doch stoff zum Nachdenken.
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