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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob folgende Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind.
a) [mm] \IR\to\IR^+_0 : x\to|x| [/mm]
b) [mm] \IR\to\IR^+ : x\to e^x [/mm]
c) [mm] \IR\to\IR : x\to \sin x [/mm]
d) [mm] \left[\bruch {-\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right] \to\IR:x \to \cos x [/mm]
e) [mm] \IR\to\IR^+: x \to x^4+1 [/mm] |
Hallo,
ich bin bei der Aufgabe zu folgenden Ergebnissen gekommen.
a) ist injektiv
b) ist injektiv
c) keines
d) ist surjektiv
e) keines
Wäre nett wenn das mal jemand prüfen könnte. Ich habe das Prinzip der Eigenschaften zwar am einfachen Mengenmodell verstanden, habe allerdings bei der Projektion auf Funktionen so meine Probleme. Ich weiß nicht so genau auf was ich dort schauen muss.
LG Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 14.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Untersuchen Sie, ob folgende Abbildungen surjektiv,
> injektiv oder bijektiv sind.
>
> a) [mm]\IR\to\IR^+_0 : x\to|x|[/mm]
> b) [mm]\IR\to\IR^+ : x\to e^x[/mm]
> c)
> [mm]\IR\to\IR : x\to \sin x[/mm]
>
> d) [mm]\left[\bruch {-\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right] \to\IR:x \to \cos x[/mm]
>
> e) [mm]\IR\to\IR^+: x \to x^4+1[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin bei der Aufgabe zu folgenden Ergebnissen gekommen.
>
> a) ist injektiv
Falsch, das würde ja bedeuten, dass jeder Funktionswert maximal einmal angenommen wird, es gilt aber beispielsweise $|-1|=1=|1|$. Die Surjektivität kannst du dir ja nochmal selbst überlegen.
> b) ist injektiv
Stimmt, aber warum nicht auch surjektiv?
> c) keines
Richtig
> d) ist surjektiv
Sicher nicht, das würde ja bedeuten, dass das Bild des Kosinus ganz [mm] $\IR$ [/mm] wäre. Dass die Funtion nicht injektiv ist stimmt, denn es gilt ja zum Beispiel [mm] $cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0=cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
> e) keines
Richtig.
>
> Wäre nett wenn das mal jemand prüfen könnte. Ich habe
> das Prinzip der Eigenschaften zwar am einfachen
> Mengenmodell verstanden, habe allerdings bei der Projektion
> auf Funktionen so meine Probleme. Ich weiß nicht so genau
> auf was ich dort schauen muss.
>
> LG Micha
Viele Grüße, Lippel
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Hallo Lippel,
erstmal danke für die Antwort. Vielleicht kannst du mir ja bitte mal kurz erklären, von welcher Menge (A) ich denn auf (B) abbilde und auf was ich dann achten muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 14.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Frage richtig verstehe, aber die Mengen sind ja bei den Abbildungen explizit mit angegeben.
Vielleicht geh ich einfach die Schritte bei der ersten Abbildung nochmal durch:
$ [mm] \IR\to\IR^+_0 [/mm] : [mm] x\to|x| [/mm] $
Die Menge, auf der du die Abbildung betrachtest sind also alle reellen Zahlen. Den Bildbereich betrachtest du nur in den positiven reellen Zahlen mit der 0.
Injektiv heißt die Abbildung, wenn es zu jedem Element der Bildmengen maximal ein Urbild gibt, oder formaler ausgedrückt, wenn mit $f(x)=f(y)$ folgt, dass $x=y$, wobei $x,y [mm] \in \IR$.
[/mm]
Das ist hier nicht gegben, denn es gilt ja wie schon gesagt $|-1|=1=|1|$, d.h. 1 und -1 haben den gleichen Funktionswert, sind aber selbst nicht gleich, außerdem liegen beide im Definitionsbereich [mm] $\IR$
[/mm]
Um zu testen ob die Funktion surjektiv ist, musst du prüfen, ob es zu jedem Element in [mm] $\IR_{0}^{+}$ [/mm] ein Urbild in [mm] $\IR$ [/mm] gibt. Die ist der Fall, da für $x [mm] \in \IR_{0}^{+}$ [/mm] ist $|x|=x$ und da $x$ auch im Defintionsbereich liegt (da [mm] $\IR_{0}^{+} \subset \IR$) [/mm] hast du für alle Elemente in [mm] $\IR_{0}^{+}$ [/mm] ein Urbild gefunden.
Hoffe das hilft dir weiter.
Viele Grüße, Lippel
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