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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mo 05.09.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Ich habe eine Frage: In der Menge der natürlichen Zahlen gelten ja folgende Sätze:
1. Es ist n=0 oder n [mm] \ge1
[/mm]
2. Mit m und n ist auch n+m eine natürliche Zahl
Kann man nun folgende ähnliche Sätze für die Menge der ganzen Zahlen aufstellen und beweisen, dass sie richtig sind?
1. Es ist n=0 oder n [mm] \ge1 [/mm] oder n [mm] \le1
[/mm]
2. Mit m und n ist auch m+n eine ganze Zahl.
Im Grunde geht es darum zu zeigen, dass [mm] \IZ [/mm] ein kommutativer Ring mit Einselement ist, und hierfür sollte man gemäss Autor des Buches die Eigenschaften von [mm] \IN [/mm] als Grundlage nehmen.
Mein Beweis für den ersten Satz geht folgendermassen:
Man zeigt, dass jedes [mm] n\IN \IZ [/mm] einer der beiden folgenden Mengen angehört:
A = [mm] \{0 \} \cup \{n \ge1: n-1 ist ganze Zahl \ge 0 \}
[/mm]
B = [mm] \{0 \} \cup \{n \le-1: n+1 ist ganze Zahl \le 0 \}
[/mm]
Verankerung: 1 gehört zu A, -1 zu B und 0 zu A und B.
n+1 (wenn n >0) gehört zu A, weil einsetzen in A zur Aussage "n ist ganze Zahl [mm] \ge [/mm] 0" führt, und dies ist richtig, weil ja die Richtigkeit dieser Aussage beim Beweis von n+1 vorausgesetzt wird
n-1 (wenn n <0) gehört zu B, weil einsetzen in B zur Aussage "n ist ganze Zahl [mm] \le [/mm] 0" führt, und die Richtigkeit für n wird ja vorausgesetzt.
Ist es zulässig, dass neben n+1 auch n-1 bewiesen wird?
Vielen Dank für eure Hilfe (den Beweis des zweiten Satzes probiere ich später)
Gruss
Gilles
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
> Hallo zusammen,
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> Ich habe eine Frage: In der Menge der natürlichen Zahlen
> gelten ja folgende Sätze:
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> 1. Es ist n=0 oder n [mm]\ge1[/mm]
> 2. Mit m und n ist auch n+m eine natürliche Zahl
>
> Kann man nun folgende ähnliche Sätze für die Menge der
> ganzen Zahlen aufstellen und beweisen, dass sie richtig
> sind?
>
> 1. Es ist n=0 oder n [mm]\ge1[/mm] oder n [mm]\le1[/mm]
> 2. Mit m und n ist auch m+n eine ganze Zahl.
>
> Im Grunde geht es darum zu zeigen, dass [mm]\IZ[/mm] ein
> kommutativer Ring mit Einselement ist, und hierfür sollte
> man gemäss Autor des Buches die Eigenschaften von [mm]\IN[/mm] als
> Grundlage nehmen.
Ich weiß nicht, ob es auch so geht. Aber ich würde den Hinweis des Autors so deuten, dass du die einzelnen Eigenschaften eines Rings zeigst (also kommutative Gruppe, Assoziativität, Distributivgesetz) und natürlich noch die Kommutativität und das Einselement. Und wenn du z. B. die Kommutativität zeigst, dann führst du das zurück auf die Kommutativität in [mm] \IN. [/mm] Also z. B. wäre dann für [mm] 3\in\IZ [/mm] und [mm] 5\in\IZ [/mm] 3+5=5+3, weil es in [mm] \IN [/mm] so ist (wie du ja weißt, bzw. wie es bekannt ist, nach dem Hinweis des Autors).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 05.09.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Vielen Dank für die Antwort, aber ich habe es trotzdem noch nicht ganz verstanden...
Die Kommutativität beispielsweise wird im Buch bereits unter den Köperaxiomen für die reellen Zahlen aufgeführt. Wenn man nun zeigt, dass die Addition in [mm] \IN [/mm] definiert ist, dann gilt die Kommutativität auch für [mm] \IN, [/mm] weil [mm] \IN \subset \IR [/mm] ist.
Wie beweise ich aber nun die Addition und damit die Kommutativität der ganzen Zahlen?
Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mo 05.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo,
ich denke du musst nur die Def. von -n benutzen, also n+(-n)=0, und dann die Gesetze der nat. Zahlen einfach anwenden.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 06.09.2005 | | Autor: | gilles |
Vielen Dank für den Hinweis. Ich habe es noch einmal probiert:
Ist der Beweis in etwa so richtig?
Sei n eine nat. Zahl und (-m) eine negative ganze Zahl:
n+(-m)=x | +m
n+(-m)+m=x+m
n=x+m | -x
n-x=m
n ist eine nat. Zahl und m auch. Damit muss auch x eine nat. und somit ganze Zahl sein, weil gemäss dem Satz
"Ist m [mm] \len, [/mm] so ist n-m eine natürliche Zahl" x eine natürliche Zahl [mm] \le [/mm] n sein muss.
Für die Addition zweier negativer ganzer Zahlen führt die Gleichung
"(-n) + (-m) = x" zu
"-x = m + n".
Damit ist -x eine nat. Zahl und x eine ganze Zahl, weil "x [mm] \in \IZ [/mm] wenn x oder -x [mm] \in \IN [/mm] ist.
Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 06.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei n eine nat. Zahl und (-m) eine negative ganze Zahl:
(Besser wäre seien g1 und g2 ganze Zahlen, Beh:auch g1+g2 ist ganze Zahl!
(du darfst nicht nur pos und neg ganze Zahlen addieren!) Dann Fallunterscheidung !
> n+(-m)=x | +m zu zeigen, x ODER -x ist nat. Zahl
> n+(-m)+m=x+m
> n=x+m | -x
> n-x=m
>
> n ist eine nat. Zahl und m auch. Damit muss auch x eine
> nat. und somit ganze Zahl sein, weil gemäss dem Satz
> "Ist m [mm]\len,[/mm] so ist n-m eine natürliche Zahl" x eine
> natürliche Zahl [mm]\le[/mm] n sein muss.
das ist einfach falsch!i.A. ist x keine natürliche, sondern eine ganze Zahl ! Beispiel n=1 -m=-9folgt x=-8
> Für die Addition zweier negativer ganzer Zahlen führt die
> Gleichung
> "(-n) + (-m) = x" zu
> "-x = m + n".
Wie? Zwischenschritte fehlen!
> Damit ist -x eine nat. Zahl und x eine ganze Zahl, weil "x
> [mm]\in \IZ[/mm] wenn x oder -x [mm]\in \IN[/mm] ist.
Gruss leduart
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