Eigenvekt. einer best. Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:27 Mi 02.09.2009 | | Autor: | THX |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Eigenvektoren von [mm]A = \left(\begin{matrix}
cos \vartheta & e^{-i \varphi} sin \vartheta \\
e^{i \varphi} sin \vartheta & - cos \vartheta
\end{matrix}\right) [/mm] |
Hallo, leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht vernünftig weiter. Die Eigenwerte habe ich schon: [mm]\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1 [/mm].
Ich weiß auch, dass ich jetzt ein LGS mit [mm]A - \lambda E [/mm] lösen muss. Mein Problem: Ich krieg immer nur die falsche Triviale Lösung (0, 0) raus.
Ich würde gerne ein allgemeines Lösungsverfahren wissen. Ich gauße doch normalerweise die Matrix durch auf Zeilenstufenform, und habe (in meinen anderen Beispielen bis jetzt) immer mindestes eine Nullzeile. Dann kann ich z.B. einen Parameter / eine Lösungskomponente frei wählen (z.B. als t), und kriege das dementsprechend alles raus.
Nur irgendwie schaffe ich es nicht, diese Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, oder bzw. von dort aus weiter zu rechnen. Wikipedia und Forensuche hat mich leider nicht weiter gebracht (die Beispiele mit normalen Zahlen kriege ich dann auch hin).
Die Lösung für die Aufgabe kenne ich auch schon, nur ist mir der Rechenweg nicht klar:
[mm]x_1 = \left(\begin{matrix} e^{-i \varphi} sin \vartheta \\ 1 - cos \vartheta \end{matrix} \right)[/mm]
und
[mm]x_2 = \left(\begin{matrix} -e^{-i \varphi} sin \vartheta \\ 1 + cos \vartheta \end{matrix} \right)[/mm]
Bin für jeden Tipp dankbar!
P.S.: Ach ja, mir ist auch nicht ganz klar, wieso ich überhaupt Zeilenumformungen in diesem LGS machen darf. Ich bekomme es ja dann scheinbar immer hin, eine Einheitsmatrix zu erzeugen, und dann gibt es nur die Lösung (0,0,0) (anderes 3x3-Beispiel). Oder habe ich mich da verrechnet? Und das Umformen darf auf keinen Fall "etwas kaputt machen"?
--
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Berechnen Sie die Eigenvektoren von [mm]A = \left(\begin{matrix}
cos \vartheta & e^{-i \varphi} sin \vartheta \\
e^{i \varphi} sin \vartheta & - cos \vartheta
\end{matrix}\right)[/mm]
>
> Hallo, leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht
> vernünftig weiter. Die Eigenwerte habe ich schon:
> [mm]\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1 [/mm].
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, die Eigenwerte sind richtig.
Und wo ein Eigenwert ist, muß auch ein Eigenvektor sein...
>
> Ich weiß auch, dass ich jetzt ein LGS mit [mm]A - \lambda E[/mm]
> lösen muss.
Genau.
> Mein Problem: Ich krieg immer nur die falsche
> Triviale Lösung (0, 0) raus.
Ohne zu sehen, was Du tust, kann man natürlich den Fehler nicht finden.
Ich tippe auf einen Vorzeichenfehler, denn demnach, was Du schreibst, hast Du die Vorgehensweise gut verstanden.
>
> Ich würde gerne ein allgemeines Lösungsverfahren wissen.
Du kennst es.
Ich mache die Rechnung jetzt mal vor, lasse dabei aber jegliches Tamtam von wegen Multiplikation mit /Division durch Null fort, das überlege Dir ggf. selbst.
[mm] \left(\begin{matrix}
cos \vartheta -1 & e^{-i \varphi} sin \vartheta \\
e^{i \varphi} sin \vartheta & - cos \vartheta-1
\end{matrix}\right) [/mm] --->
[mm] \left(\begin{matrix}
(cos \vartheta -1 )*e^{i \varphi} sin \vartheta & e^{-i \varphi} sin \vartheta * e^{i \varphi} sin \vartheta \\
e^{i \varphi} sin \vartheta* (cos \vartheta -1 ) & (- cos \vartheta -1)* (cos \vartheta -1 )
\end{matrix}\right) [/mm] -->
[mm] \left(\begin{matrix}
(cos \vartheta -1 )*e^{i \varphi} sin \vartheta & e^{-i \varphi} sin \vartheta * e^{i \varphi} sin \vartheta \\
0 & sin^2\vartheta -(1- cos^2 )
\end{matrix}\right) [/mm] -->
[mm] \left(\begin{matrix}
(cos \vartheta -1 ) & e^{-i \varphi} sin \vartheta \\
0 & 0
\end{matrix}\right)
[/mm]
So, ich denke, das reicht und bin mir sicher, daß Du den Rest hinbekommst.
> Ich gauße doch normalerweise die Matrix durch auf
> Zeilenstufenform, und habe (in meinen anderen Beispielen
> bis jetzt) immer mindestes eine Nullzeile. Dann kann ich
> z.B. einen Parameter / eine Lösungskomponente frei wählen
> (z.B. als t), und kriege das dementsprechend alles raus.
>
> Nur irgendwie schaffe ich es nicht, diese Matrix auf
> Zeilenstufenform zu bringen, oder bzw. von dort aus weiter
> zu rechnen. Wikipedia und Forensuche hat mich leider nicht
> weiter gebracht (die Beispiele mit normalen Zahlen kriege
> ich dann auch hin).
>
> Die Lösung für die Aufgabe kenne ich auch schon, nur ist
> mir der Rechenweg nicht klar:
>
> [mm]x_1 = \left(\begin{matrix} e^{-i \varphi} sin \vartheta \\ 1 - cos \vartheta \end{matrix} \right)[/mm]
>
> und
> [mm]x_2 = \left(\begin{matrix} -e^{-i \varphi} sin \vartheta \\ 1 + cos \vartheta \end{matrix} \right)[/mm]
>
>
> Bin für jeden Tipp dankbar!
>
>
> P.S.: Ach ja, mir ist auch nicht ganz klar, wieso ich
> überhaupt Zeilenumformungen in diesem LGS machen darf.
Die darfst Du hier wie in jedem anderen LGS auch machen. Das ist ein normales LGS, und die Einträge in der Matrix sind ja nichts anderes als irgendwelche komplexen Zahlen, die sich etwas wichtig tun.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 02.09.2009 | | Autor: | THX |
Super, danke!
Deine Umformungen sind genau das, was ich (scheinbar) nicht vernünftig geschafft habe. Ich werds mir nochmal genau anschauen, nachrechnen, und auf die Vorzeichen achten! Danke 
|
|
|
|
