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| Aufgabe | Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von:
A =
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -1 & 0\\
\frac{-1}{2} & 0 & 0\\
1& 1& \frac{1}{2}
\end{pmatrix} [/mm] |
Ich habe bereits eine Musterlösung zu dieser Aufgabe, aber ich scheiter an einem Punkt.
Als Eigenwerte habe ich (welche auch stimmen):
[mm] \lambda_{1} =\frac{1}{2} [/mm]
[mm] \lambda_{2} =\frac{-1}{2} [/mm]
[mm] \lambda_{3} [/mm] =1
Bei dem Eigenvektor zum Eigenwert = 1 hängt es nun:
Laut Musterlösung und Seite : http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm
Ist der Eigenvektor: [ 2 ; -1 ; 2 ]
Mein Vorgehen ( komme dadurch auf einen anderen Eigenvektor !?!):
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}-\lambda & -1 & 0\\
\frac{-1}{2} & -\lambda& 0\\
1& 1& \frac{1}{2}-\lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 1:
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{-1}{2} & -1 & 0\\
\frac{-1}{2} & -1& 0\\
1& 1& \frac{-1}{2}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
0&0& 0\\
2& 2&-1
\end{pmatrix}
[/mm]
Erste Zeile liefert mir:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] = 0
-> [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -2*x_{2}
[/mm]
Dritte Zeile:
[mm] 2*x_{1}+2*x_{2}-x_{3}=0
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] 2*x_{1}+2*x_{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] 2*(-2*x_{2})+2*x_{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -2*x_{2}
[/mm]
Nun ist mein Eigenvektor zum EW = 1:
[mm] \lambda \times \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
-2
\end{pmatrix}
[/mm]
und nicht wie oben:
[mm] \begin{pmatrix}
2\\
-1\\
2
\end{pmatrix}
[/mm]
Klar, wenn ich [mm] \lambda [/mm] = -1 setze erhalt ich obigen Vektor, aber warum sollte ich dies tun. Wieso nicht [mm] \lambda [/mm] = 1 ...
Vielen Dank schonmal!
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Hallo MartinNeumann,
> Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von:
> A =
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -1 & 0\\
\frac{-1}{2} & 0 & 0\\
1& 1& \frac{1}{2}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich habe bereits eine Musterlösung zu dieser Aufgabe, aber
> ich scheiter an einem Punkt.
>
> Als Eigenwerte habe ich (welche auch stimmen):
>
> [mm]\lambda_{1} =\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\lambda_{2} =\frac{-1}{2}[/mm]
> [mm]\lambda_{3}[/mm] =1
>
> Bei dem Eigenvektor zum Eigenwert = 1 hängt es nun:
> Laut Musterlösung und Seite :
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm
>
> Ist der Eigenvektor: [ 2 ; -1 ; 2 ]
>
> Mein Vorgehen ( komme dadurch auf einen anderen Eigenvektor
> !?!):
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}-\lambda & -1 & 0\\
\frac{-1}{2} & -\lambda& 0\\
1& 1& \frac{1}{2}-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = 1:
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{-1}{2} & -1 & 0\\
\frac{-1}{2} & -1& 0\\
1& 1& \frac{-1}{2}
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0\\
0&0& 0\\
2& 2&-1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Erste Zeile liefert mir:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2*x_{2}[/mm] = 0
> -> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-2*x_{2}[/mm]
>
> Dritte Zeile:
>
> [mm]2*x_{1}+2*x_{2}-x_{3}=0[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]2*x_{1}+2*x_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]2*(-2*x_{2})+2*x_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-2*x_{2}[/mm]
>
> Nun ist mein Eigenvektor zum EW = 1:
>
> [mm]\lambda \times \begin{pmatrix}
-2\\
1\\
-2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und nicht wie oben:
> [mm]\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Klar, wenn ich [mm]\lambda[/mm] = -1 setze erhalt ich obigen Vektor,
> aber warum sollte ich dies tun. Wieso nicht [mm]\lambda[/mm] = 1
> ...
Es reicht, wenn der Span Deines Eigenvektors
dem Span des Eigenvektors in der Musterlösung entspricht.
Und das ist ja erfüllt.
>
> Vielen Dank schonmal!
Gruss
MathePower
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