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| Aufgabe | Gegeben sei eine symmetrische 3 mal 3 Matrix mit den Eigenvektoren a =
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] zum Eigenwert 0 und b = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] zum Eigenvektoren 1. Der dritte Eigenwert sei negativ.
Bestimmen Sie eine Lösung von Ax=b |
Hi!
Ich habe den dritten Eigenvektor bestimmt:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Dieser ist orthogonal zu den anderen beiden Eigenvektoren.
Die Bestimmung von Eigenvektoren und Eigenwerten ist für mich kein Problem. Hier fehlt mir jedoch etwas der Überlick wie ich genau vorgehen soll.
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mo 01.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo
Die Aufgabe ist ganz einfach.
Wenn b ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, dann gilt doch Ab=1*b. Deshalb ist b eine Lösung der Gleichung Ax=b.
Uebrigens: Jede Lösung x der Gleichung Ax=b ist von der Form [mm] $x=b+\lambda a\quad \lambda\in\IR$.
[/mm]
mfG Moudi
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Dankeschön!
Mit den Eigenvektoren auf die Matrix A zu schließen funktioniert aber nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mo 01.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
doch, das geht auch teilweise ganz gut.
Nimm mal an, du hast 3 linear unabhängige Eigenvektoren zu den Eigenwerten [mm] $\lambda_1$ [/mm] , [mm] $\lambda_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$
[/mm]
wie sieht dann die Darstellungsmatrix bzgl der Basis aus diesen Eigenvektoren aus ?!?
(und wenn man die Darstellungsmatrix bzgl einer Basis kennt, kann man ja mit der  Transformationsformel sie bzgl jeder anderen darstellen)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo!
Das mit der Transformationsformel funktioniert aber nur bei symmetrischen Matrizen oder?
Also ein Rückschluss von Eigenvektoren und Eigenwerten auf eine nicht symmetrische Matrix ist nicht so einfach?
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 14.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo
Wenn man die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix kennt und die Matrix diagonalisierbar ist, dann kann man die Matrix bezüglich der Standardbasis rekonstruieren.
Bsp. Eine Matrix besitzt den Eigenwert 2 zum Eigenvektor [mm] $v_1=\vektor{1 \\ -1}$ [/mm] und den Eigenwert -1 zum Eigenvektor [mm] $v_2=\vektor{2 \\ -3}$.
[/mm]
Dann lautet die Matrix bezüglich der Basis [mm] $(v_1,v_2)$ [/mm] ist [mm] $\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -1}$.
[/mm]
Die Transformationsmatrix lautet dann [mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -3 }$ [/mm] und die Inverse davon [mm] $\pmat{ 3 & 2 \\ -1 & -1 }$.
[/mm]
Transformation auf Standardbasis: [mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & -3 } \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -1} \pmat{ 3 & 2 \\ -1 & -1 }=\pmat{ 8 & 6 \\ -9 & -7 }$
[/mm]
In der Tat: [mm] $\pmat{ 8 & 6 \\ -9 & -7 } \vektor{1 \\ -1}=\vektor{2 \\ -2}$ [/mm] und [mm] $\pmat{ 8 & 6 \\ -9 & -7 } \vektor{2 \\ -3}=\vektor{-2 \\ 3}$.
[/mm]
mfG Moudi
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