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Hallo, ich habe schwierigkeiten bei folgender Matrix die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen:
[mm] \pmat{ 3 & a \\ -1 & 1 }
[/mm]
Also ich habe so angefangen:
[mm] \vmat{ 3-\lambda & a \\ -1 & 1-\lambda }
[/mm]
= [mm] (3-\lambda)*(1-\lambda)+a*-1-1*a+(1-\lambda)*(3-\lambda)
[/mm]
So jetzt kriege ich als charakteristisches Polynom 0 raus. Das ist doch falsch oder???
Gruß
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Hallo, es ist die Gleichung
[mm] (3-\lambda)*(1-\lambda)+a=0 [/mm]
zu lösen
[mm] \lambda^{2}-4\lambda+3+a=0
[/mm]
Steffi
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Danke für die schnelle Antwort.
Ich versteh aber nicht genau wie du darauf kommst.
Ich muss doch das auflösen
= [mm] (3-\lambda)*(1-\lambda)+a*-1--1*a+(1-\lambda)*(3-\lambda)
[/mm]
Dann steht da ja
[mm] \lambda^2-4\lambda+3-a--a+\lambda^2-4\lambda+3
[/mm]
Und das ergibt doch 0.
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Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort.
> Ich versteh aber nicht genau wie du darauf kommst.
> Ich muss doch das auflösen
> =
> [mm](3-\lambda)*(1-\lambda)+a*-1--1*a+(1-\lambda)*(3-\lambda)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Determinante einer [mm]2\times 2[/mm]-Matrix [mm]A=\pmat{a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}}[/mm] berechnet sich als [mm]\operatorname{det}(A)=a_{11}\cdot{}a_{22}-a_{21}\cdot{}a_{12}[/mm]
Also so, wie es bei Steffi steht
> Dann steht da ja
> [mm]\lambda^2-4\lambda+3-a--a+\lambda^2-4\lambda+3[/mm]
> Und das ergibt doch 0.
>
>
Gruß
schachuzipus
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Danke, ich habs verstanden.
Jetzt muss ich doch die Nullstellen berechnen
[mm] \lambda^2-4\lambda+3-a=0
[/mm]
[mm] \lambda^2-4\lambda= [/mm] -3+a [mm] +2^2
[/mm]
[mm] (\lambda-2)^2= [/mm] 1+a [mm] \pm [/mm] Wurzel ziehen
[mm] \lambda-2= 1+\wurzel{a} [/mm] +2
[mm] \lambda= 3+\wurzel{a} [/mm] und [mm] \lambda= 1+\wurzel{a}
[/mm]
Das sieht nicht richtig aus oder??
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Hallo, beachte zunächst, du hast einen Vorzeichenfehler
[mm] \lambda^{2}-4\lambda+3 [/mm] + a=0
du möchtest über die quadratische Ergänzung gehen
[mm] \lambda^{2}-4\lambda+3+1-1+a=0
[/mm]
[mm] (\lambda-2)^{2}-1+a=0
[/mm]
[mm] (\lambda-2)^{2}=1-a
[/mm]
[mm] \lambda_1_2-2=\pm\wurzel{1-a}
[/mm]
[mm] \lambda_1_2=2\pm\wurzel{1-a}
[/mm]
Steffi
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Mein Vorzeichenfehler habe ich gar nicht bemerkt.
Jetzt muss ich ja
[mm] (\pmat{ 3 & a \\ -1 & 1 } [/mm] * [mm] \wurzel{1+a})*\vektor{x \\ y}
[/mm]
nach dem Gauß Algorithmus lösen.
Jedoch habe ich Probleme damit [mm] \wurzel{1+a} [/mm] mit den anderen Werten zu multiplizieren. Viell. [mm] 3*\wurzel{1+a}= 3(\wurzel{1+a})
[/mm]
[mm] a*\wurzel{1+a}= a(\wurzel{1+a})
[/mm]
-1= [mm] -(\wurzel{1+a})
[/mm]
1= [mm] (\wurzel{1+a})
[/mm]
Wenn das so richtig ist, ist es doch tota schwierig Gauß hier anzuwenden
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Hallo, was du gerechnet hast, habe ich noch nie gesehen,
der Eigenvektor zu [mm] 2+\wurzel{1-a} [/mm] berechnet sich doch durch
[mm] \pmat{ 1-\wurzel{1-a} & a \\ -1 & -1-\wurzel{1-a} }\vektor{x \\ y }=0
[/mm]
jetzt stelle das korrekte Gleichungssystem auf
Steffi
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Ok, also lautet das Gleichungssystem so:
[mm]\pmat{ (1-\wurzel{1-a})*x + a*y \\ -1*x -1-\wurzel{1-a})*y }=0[/mm]
Aber wie soll ich den jetzt Gauß anwenden? Ich kriege diese Matrix in keine Dreiecksmatrix umgewandelt.
LG
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Hallo Schmetterling89,
> Ok, also lautet das Gleichungssystem so:
> [mm]\pmat{ (1-\wurzel{1-a})*x + a*y \\ -1*x -1-\wurzel{1-a})*y }=0[/mm]
>
> Aber wie soll ich den jetzt Gauß anwenden? Ich kriege
> diese Matrix in keine Dreiecksmatrix umgewandelt.
Gauß brauchst Du hier nicht anwenden,
denn die Gleichungen
[mm](1-\wurzel{1-a})*x + a*y =0[/mm]
und
[mm]-1*x +(-1-\wurzel{1-a})*y=0[/mm]
entsprechen sich, so daß Du nur eine Gleichung betrachten mußt.
>
> LG
Gruss
MathePower
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Hallo, danke für deine Antwort.
Wenn die beiden Gleichungen sich entsprechen, heißt das, dass a=-1 ist???
Und wenn ich nur eine Gleichung betrachten muss, wie soll ich den x und y mir nur einer Gleichung herausfinden??
Gruß
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Hallo Schmetterling89,
> Hallo, danke für deine Antwort.
> Wenn die beiden Gleichungen sich entsprechen, heißt das,
> dass a=-1 ist???
Nein, die beiden Gleichungen entsprechen sich für alle zulässigen a.
> Und wenn ich nur eine Gleichung betrachten muss, wie soll
> ich den x und y mir nur einer Gleichung herausfinden??
Hier kannst Du dann x oder y wählen,
und daraus y bzw. x bestimmen.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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Also nehmen wir an, dass ich die zweite Gleichung nehme.
$ [mm] -1\cdot{}x +(-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y=0 [/mm] $
Die löse ich nach x auf, also steht dort
x= [mm] (-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y
[/mm]
Dann lautet mein Eigenvektor: [mm] \vektor{x \\ (-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y}
[/mm]
Ich bin grad irgendwie ziemlich durcheinander. Meintest du das so???
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Hallo Schmetterling89,
> Also nehmen wir an, dass ich die zweite Gleichung nehme.
>
> [mm]-1\cdot{}x +(-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y=0[/mm]
>
> Die löse ich nach x auf, also steht dort
> x= [mm](-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y[/mm]
> Dann lautet mein Eigenvektor: [mm]\vektor{x \\ (-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y}[/mm]
>
> Ich bin grad irgendwie ziemlich durcheinander. Meintest du
> das so???
Der Eigenvektor muss doch lauten:
[mm]\vektor{(-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y \\ y}[/mm]
Und jetzt kannst Du y wählen.
Gruss
MathePower
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> Der Eigenvektor muss doch lauten:
>
> [mm]\vektor{(-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y \\ y}[/mm]
Also setzt du für x einfach y.
> Und jetzt kannst Du y wählen.
Wie y wählen?? Meinst du, dass ich einen anderen Buchstaben für y wählen soll???
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Hallo Schmetterling89,
> > Der Eigenvektor muss doch lauten:
> >
> > [mm]\vektor{(-1-\wurzel{1-a})\cdot{}y \\ y}[/mm]
> Also setzt du
> für x einfach y.
Nein. Aus der Gleichung
[mm]x+\left(-1-\wurzel{1-a}\right)*y=0[/mm]
folgt doch durch die Auflösung nach x, die Abhängigkeit von y.
> > Und jetzt kannst Du y wählen.
> Wie y wählen?? Meinst du, dass ich einen anderen
> Buchstaben für y wählen soll???
>
Nein, wähle jetzt für y eine Zahl.
Gruss
MathePower
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Ach so. Und wenn ich jetzt für y eine Zahl einsetze bin ich dann fertig???
Danke für deine schnellen Antworten und für deine Geduld:)
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Hallo,
> Ach so. Und wenn ich jetzt für y eine Zahl einsetze bin
> ich dann fertig???
Ja, nimm irgendein [mm] $y\neq [/mm] 0$, dann hast du einen Eigenvektor.
> Danke für deine schnellen Antworten und für deine
> Geduld:)
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 28.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst noch nen Eigenvektor zum anderen Eigenwert
Gruss leduart
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important; font-weight: normal ! important; vertical-align: middle ! important; cursor: pointer ! important;">cs>de </span><span title="Translation service: Yahoo (switch service)" id="bfsvcSpan" style="border: 1px dotted gray ! important; margin: 1px ! important; padding: 0px 2px ! important; background: rgb(168, 236, 255) none repeat scroll 0% 0% ! important; -moz-background-clip: border ! important; -moz-background-origin: padding ! important; -moz-background-inline-policy: continuous ! important; font-family: Arial ! important; font-size: 12px ! important; color: rgb(0, 0, 0) ! important; line-height: normal ! important; font-weight: normal ! important; vertical-align: middle ! important; cursor: pointer ! important;">Yahoo</span><span title="Copy result to clipboard" id="bfclipboardSpan" style="border: 1px dotted gray ! important; margin: 1px ! important; padding: 0px 2px ! important; background: rgb(168, 236, 255) none repeat scroll 0% 0% ! important; -moz-background-clip: border ! 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important; color: rgb(0, 0, 0) ! important; line-height: normal ! important; font-weight: normal ! important; vertical-align: middle ! important; width: auto;">e</div></div>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 28.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das char. polynom kreigst du dxoch, wenn du die Det von [mm] A-\lambd*E [/mm] 0 setzt.
du hast die Det einmal positiv hingeschrieben, dann die negative dazu addiert. Warum? det(A)-det(A)=0 gilt egal was A ist.
Gruss leduart
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