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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 }
[/mm]
(a) Verifizieren Sie, dass [mm] x^{T}=(-1, [/mm] 1, 0) ein Eigenvektor ist. Wie lautet der dazugehörige Eigenwert?
(b) Der zum Eigenwert gehörende Eigenraum ist zweidimensional. Geben Sie eine orthogonale Basis an.
( c) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis aus [mm] \IR^{3} [/mm] mit Eigenvektoren von A. |
Hallo,
bei (a) und (b) muss ich glaube ich nicht meinen Rechenweg erläutern, der Eigenwert ist -3, der zweite Eigenvektor (1, 1, -4) .
nun zu ( c)
um eine onb zu bestimmen, brauche ich noch einen eigenvektor. da aber der eigenraum mit [mm] \lambda=-3 [/mm] zweidimensional ist, muss ich einen zweiten Eigenwert bestimmen, um einen dritten Eigenvektor von A zu bekommen. Dies habe ich mittels Polynomdivision und ABC-Formel getan. -9 und 6 sind eigenwerte.
nehmen wir die 6 und suchen einen eigenvektor dazu.
A*v=6v muss gelten
also (A - 6 [mm] E_{3} [/mm] ) v = 0
dieses Gleichungssystem ist aber nicht lösbar?
am Ende habe ich dastehen:
[mm] \pmat{ -5 & 4 & 2 \\ 4 & -5 & 2 \\ 2 & 2 & -8 } [/mm] * v = 0
wo ist der Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Matrix A= [mm]\pmat{ 1 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & -2 }[/mm]
>
> (a) Verifizieren Sie, dass [mm]x^{T}=(-1,[/mm] 1, 0) ein Eigenvektor
> ist. Wie lautet der dazugehörige Eigenwert?
> (b) Der zum Eigenwert gehörende Eigenraum ist
> zweidimensional. Geben Sie eine orthogonale Basis an.
> ( c) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis aus [mm]\IR^{3}[/mm] mit
> Eigenvektoren von A.
> Hallo,
>
> bei (a) und (b) muss ich glaube ich nicht meinen Rechenweg
> erläutern, der Eigenwert ist -3, der zweite Eigenvektor
> (1, 1, -4) .
>
>
> nun zu ( c)
>
> um eine onb zu bestimmen, brauche ich noch einen
> eigenvektor. da aber der eigenraum mit [mm]\lambda=-3[/mm]
> zweidimensional ist, muss ich einen zweiten Eigenwert
> bestimmen, um einen dritten Eigenvektor von A zu bekommen.
> Dies habe ich mittels Polynomdivision und ABC-Formel getan.
> -9 und 6 sind eigenwerte.
> nehmen wir die 6 und suchen einen eigenvektor dazu.
>
> A*v=6v muss gelten
> also (A - 6 [mm]E_{3}[/mm] ) v = 0
> dieses Gleichungssystem ist aber nicht lösbar?
>
> am Ende habe ich dastehen:
>
> [mm]\pmat{ -5 & 4 & 2 \\ 4 & -5 & 2 \\ 2 & 2 & -8 }[/mm] * v = 0
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> wo ist der Fehler?
6 ist kein Eigenwert ! Ob -9 einer ist hab ich nicht nachgeprüft.
Edit: Pardon, 6 ist doch ein Eigenwert
FRED
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ich glaube jetzt kenne ich meinen Fehler.
in der Lösung ist die orthonormalbasis angegeben:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{18}} \vektor{1 \\ 1 \\ -4}, \bruch{1}{3} \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm]
und dazu die eigenwerte -3, -3, 6
daher dachte ich, die 6 sei richtig, liegt es daran, dass sich die 6 auf die orthonormalbasis bezieht, aber nicht auf den eigenvektor der Matrix?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mo 27.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> ich glaube jetzt kenne ich meinen Fehler.
> in der Lösung ist die orthonormalbasis angegeben:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{18}} \vektor{1 \\ 1 \\ -4}, \bruch{1}{3} \vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> und dazu die eigenwerte -3, -3, 6
>
> daher dachte ich, die 6 sei richtig, liegt es daran, dass
> sich die 6 auf die orthonormalbasis bezieht, aber nicht auf
> den eigenvektor der Matrix?
6 ist Eigenwert der Matrix A.
Auch dein Gleichungssystem
$ [mm] \pmat{ -5 & 4 & 2 \\ 4 & -5 & 2 \\ 2 & 2 & -8 } [/mm] $*v = 0
ist richtig und du kannst daraus den zugehörigen Eigenvektor berechnen.
Allerdings ist es nicht ein fester Vektor, sondern eine Komponente ist
freiwählbar, sodass sich der Eigenraum ergibt.
Gruß
meili
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Danke für die Antwort.
Eine Komponente ist also eine beliebige Variable, d.h. um eine ONB zu bestimmen kann ich für diese Komponente einen beliebigen Wert einsetzen, und damit die Basis berechnen?
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> Danke für die Antwort.
> Eine Komponente ist also eine beliebige Variable, d.h. um
> eine ONB zu bestimmen kann ich für diese Komponente einen
> beliebigen Wert einsetzen, und damit die Basis berechnen?
Hallo,
ich glaube, Du meinst es richtig.
Wirklich wissen kann man es nur, wenn man sieht, was Du tust.
LG Angela
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also wieder zum Anfang :)
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