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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Sa 08.02.2014 | | Autor: | bla234 |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
Eigenvektoren bestimmen |
Ich habe die Eigenwerte bestimmt:
[mm] \lambda_{1}=1
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=2
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=3
[/mm]
Jetzt habe ich für den ersten Eigenvektor eingesetzt:
[mm] \pmat{ 1-1 & 1 & 1 \\ 0 & 2-1 & 1 \\ 0 & 0 & 3-1 }*x=0 [/mm] -> [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }*x=0 [/mm] -> [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }*x=0
[/mm]
Jetzt stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch:
Da steht ja jetzt wenn ich noch die zweite von der ersten abziehe:
[mm] x_{2}= [/mm] 0
[mm] x_{3}= [/mm] 0
Ist [mm] x_{1} [/mm] frei wählbar? Ist das dann z.B. ein Eigenvektor [mm] \pmat{ 9999 \\ 0 \\ 0}?
[/mm]
Beim zweiten Eigenvektor kommt raus:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }*x=0
[/mm]
Stimmt der Eigenvektor [mm] \pmat{ 9999 \\ 9999 \\ 0 }?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich kann alle deine Fragen mit "ja" beantworten.
Ich bin mir aber nicht sicher, ob dir das etwas hilft, denn wenn du dir sie nicht selbst beantworten kannst, zeigt das, dass du irgendetwas noch nicht vollständig verstanden hast (und auch durch meine Antwort dem Verständnis keinen Schritt näher gekommen sein wirst).
Du kannst doch immer die Probe machen, ob ein vermuteter Eigenvektor v tatsächlich die von ihm geforderte Eigenschaft (nämlich [mm] A*v=\lambda*v [/mm] zu erfüllen) hat, indem du beispielsweise die Multiplikation [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }*\pmat{ 9999 \\ 9999 \\ 0 } [/mm] explizit ausführst. Wenn [mm] \pmat{ 19998 \\ 19998 \\ 0 } [/mm] heraus kommt, dann ist es Ein Eigenvektor zum Eigenwert 2, sonst eben nicht.
Was soll die Frage "Eigenvektoren bestimmen" in deinem Beitrag bedeuten ? Dass du einen Eigenvektor zu [mm] \lambda_1=1 [/mm] und einen zu [mm] \lambda_2=2 [/mm] bestimmen sollst ? oder zu jedem Eigenwert einen ? oder zu jedem Eigenwert alle ? Im letzten Fall musst du noch beachten, dass die von dir genannten Eigenvektoren jeweils einen ganzen Eigenraum aufspannen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 08.02.2014 | | Autor: | bla234 |
Vielen Dank erstmal. Meine ursprüngliche Frage ist beantwortet.
Das mit dem Eigenraum heißt also, dass ich mich im Falle des zweiten Eigenvektors nicht auf einer Gerade bewege sondern auf einer Fläche auf dem ich den Eigenvektor beliebig auswählen kann?
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Hallo bla234,
> Vielen Dank erstmal. Meine ursprüngliche Frage ist
> beantwortet.
>
> Das mit dem Eigenraum heißt also, dass ich mich im Falle
> des zweiten Eigenvektors nicht auf einer Gerade bewege
> sondern auf einer Fläche auf dem ich den Eigenvektor
> beliebig auswählen kann?
Auch im Falles des zweiten Eigenvektors
bewegst Du Dich auf einer Geraden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 08.02.2014 | | Autor: | bla234 |
Hm, was meint Sax dann mit Eigenraum?
Die Gerade vom zweiten Eigenvektor liegt in der [mm] x_{3}-Ebene...
[/mm]
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Hallo,
> Hm, was meint Sax dann mit Eigenraum?
> Die Gerade vom zweiten Eigenvektor liegt in der
> [mm]x_{3}-Ebene...[/mm]
Sax meinte vor allem, dass die Aufgabenstellung etwas unklar ist.
Während so eine (endlichdimensionale) Matrix nur endlich viele Eigenwerte haben kann (bei dir sind es 1,2,3), hat sie im Allgemeinen unendlich viele Eigenvektoren.
Denn wie dir sicher bewusst ist, ist ja nicht nur [mm] $\vektor{9999\\0\\0}$ [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$, sondern auch jeder andere Vektor [mm] $\vektor{x_1\\0\\0}$ [/mm] mit beliebigem [mm] $x_1 \in \IR$ [/mm] (das war ja frei wählbar).
Wenn du also jeweils nur einen Eigenvektor angeben solltest, bist du natürlich fertig.
Oft wird aber nach allen Eigenvektoren zu einem Eigenwert gefragt (der so genannte Eigenraum zu einem Eigenwert).
Bei dir sähe der Eigenraum zu [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$ so aus:
[mm] $Eig_{\lambda_1 = 1}(A) [/mm] = [mm] \left\{\vektor{x_1\\0\\0}: x_1 \in \IR\right\} [/mm] = [mm] <\vektor{1\\0\\0}>$
[/mm]
(Es ist der Vektorraum, der von [mm] $\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] aufgespannt wird).
Entsprechend kann man das natürlich auch für die anderen beiden Eigenwerte machen.
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Beim zweiten Eigenwert [mm] $\lambda_2 [/mm] = 2$ hast du ermittelt, dass alle Eigenvektoren durch
[mm] $Eig_{\lambda_2 = 2}(A) [/mm] = [mm] \left\{\vektor{x_1\\x_1\\0}: x_1 \in \IR\right\} [/mm] = [mm] <\vektor{1\\1\\0}>$
[/mm]
gegeben sind.
Hier musst du aufpassen: Natürlich liegen alle Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $\lambda_2 [/mm] = 2$ also in der [mm] $x_3$-Ebene, [/mm] aber nicht jeder Vektor in der [mm] $x_3$-Ebene [/mm] ist ein Eigenvektor! Es sind eben nur die, die ein Vielfaches von [mm] $\vektor{1\\1\\0}$ [/mm] sind.
Auch hier ist der Eigenraum also nur eindimensional.
Kannst du den Eigenraum zum dritten Eigenwert [mm] $\lambda_3 [/mm] = 3$ hinschreiben?
Viele Grüße,
Stefan
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