Eigenvektor zu Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Sa 25.01.2014 | | Autor: | orell |
| Aufgabe | Loese das Eigenwertproblem der folgenden Matrix:
A = [mm] \pmat{ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & \\ 1 & 0 & -1 }
[/mm]
Loesung:
Eigenwerte:
[mm] \lambda_{0} [/mm] = -2
[mm] \lambda_{1} [/mm] = i-1
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -i-1
Eigenvektoren:
[mm] u_{0}=\pmat{0\\1 \\0 } u_{1}=\pmat{i\\-i \\1} u_{2}=\pmat{-i\\ i\\1} [/mm] |
Hallo,
Meine Frage bezieht sich auf den Eigenvektor [mm] u_{1}. [/mm] Wenn ich das homogene Gleichungssystem zur Berechnung von [mm] u_{1} [/mm] loese' komme ich immer auf den folgenden Loesungsvektor:
[mm] \vec{l} [/mm] = [mm] \pmat{i \alpha \\ -i \\ \alpha}
[/mm]
Frage:
Der Eigenvektor [mm] u_{1} [/mm] ist eine Basis des Loesungsraums A - I [mm] \cdot \lambda_{1}=0. [/mm]
Nun ist aber [mm] u_{1} [/mm] (aus der Musterloesung) keine Basis von [mm] \vec{l}.
[/mm]
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man von der Loesung des homogenen Gleichungssystems [mm] (\vec{l}) [/mm] auf den entsprechenden Eigenvektor [mm] (u_{1}) [/mm] kommt.
Oder kann mir jemand sagen, wo mein Verstaendnissfehler liegt.
Vielen Dank fuer alle Tipps schon jetzt
Orell
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Hallo,
> Loese das Eigenwertproblem der folgenden Matrix:
> A = [mm]\pmat{ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 1 & \\ 1 & 0 & -1 }[/mm]
>
> Loesung:
> Eigenwerte:
> [mm]\lambda_{0}[/mm] = -2
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = i-1
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -i-1
>
> Eigenvektoren:
> [mm]u_{0}=\pmat{0\\1 \\0 } u_{1}=\pmat{i\\-i \\1} u_{2}=\pmat{-i\\ i\\1}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Meine Frage bezieht sich auf den Eigenvektor [mm]u_{1}.[/mm] Wenn
> ich das homogene Gleichungssystem zur Berechnung von [mm]u_{1}[/mm]
> loese' komme ich immer auf den folgenden Loesungsvektor:
>
> [mm]\vec{l}[/mm] = [mm]\pmat{i \alpha \\ -i \\ \alpha}[/mm]
>
> Frage:
> Der Eigenvektor [mm]u_{1}[/mm] ist eine Basis des Loesungsraums A -
> I [mm]\cdot \lambda_{1}=0.[/mm]
>
> Nun ist aber [mm]u_{1}[/mm] (aus der Musterloesung) keine Basis von
> [mm]\vec{l}.[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man von der
> Loesung des homogenen Gleichungssystems [mm](\vec{l})[/mm] auf den
> entsprechenden Eigenvektor [mm](u_{1})[/mm] kommt.
> Oder kann mir jemand sagen, wo mein Verstaendnissfehler
> liegt.
Ich denke, es ist ein Rechenfehler. Ich hab gerade mein CAS angeworfen und komme auf die angegebenen Eigenvektoren. Deine Eigenwerte sind richtig, also muss dir beim Lösen der LGS bzw. bei deiner Probe irgendwo ein Fehler unterlaufen sein.
Gruß, Diopahnt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 25.01.2014 | | Autor: | orell |
Hallo Diophant,
... wie aergerlich, ich habe mehrmals gerechnet und dabei wohl immer den selben Fehler gemacht, naja den Rechenfehler werde ich schon finden.
Ich wollte nur nochmals nachfragen, ob meine Ueberlegungen zu den Eigenvektoren so richtig sind.
Also,
Der Eigenvektor ist eine Basis des Loesungsraumes welcher vom entsprechenden Eigenwert induziert wird.
Alle Eigenwerte zusammen bilden die Eigenbasis, d.h. die Basis des Eigenraums von A.
Nur halbeinfache Matrizen besitzen eine Eigenbasis.
Ist das so richtig?
Danke nochmals fuer die Antwort
Orell
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Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> ... wie aergerlich, ich habe mehrmals gerechnet und dabei
> wohl immer den selben Fehler gemacht, naja den Rechenfehler
> werde ich schon finden.
>
> Ich wollte nur nochmals nachfragen, ob meine Ueberlegungen
> zu den Eigenvektoren so richtig sind.
>
> Also,
>
> Der Eigenvektor ist eine Basis des Loesungsraumes welcher
> vom entsprechenden Eigenwert induziert wird.
Na ja, 'Basis' ist hier doch etwas hochgegriffen, ein 'Vielfaches' tut es an de Stelle auch.
> Alle Eigenwerte zusammen bilden die Eigenbasis, d.h. die
> Basis des Eigenraums von A.
Ja, das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur halbeinfache Matrizen besitzen eine Eigenbasis.
>
Wenn du das so meinst, dass die einfachen Matrizen mit eingeschlossen sind, dann ist auch das richtig.
Gruß, Diophant
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