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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Es sei f: [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2 [/mm] die lineare Abbildung mit [mm] f(e_1)=8e_1-3e_2 [/mm] und [mm] f(e_2)=18e_1-7e_2, [/mm] wobei [mm] {e_1,e_2} [/mm] die kanonische Basis von [mm] R^2 [/mm] bezeichnet. Man zeige, dass f diagonalisierbar ist, bestimme die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume. |
hi, hänge grad bei dieser aufgabe...
Ich hab als erstes versucht die Abbildungsmatrix von f zu bestimmen:
A [mm] (e_i,e_i) [/mm] = [mm] \pmat{ 8 & 18 \\ -3 & -7 }
[/mm]
und dann das charakteristische Polynom ausgerechnet:
det(1_2X-A) = [mm] \pmat{ (X-8) & -18 \\ 3 & X+7 } [/mm] = (X-8)(X+7)+18*3=X²-X-2=(X-1)(X+2)
demnach müssten meine Eigenwerte ja dann [mm] X_1=1 [/mm] und [mm] X_2=-2 [/mm] sein.
stimmt das soweit?
und nun hab ich versucht die Eigenräume zu finden:
für [mm] X_1=1:
[/mm]
[mm] \pmat{ -7 & -18 \\ 3 & 8 } [/mm] umgeformt zu [mm] \pmat{ -7 & -18 \\ 0 & -2 }
[/mm]
wie komm ich jetzt weiter??*help* hatte gehofft fundamentallösungen zu bekommen, aber die letzte zeile ist ja keine nullzeile ???
und für [mm] X_2=-2:
[/mm]
[mm] \pmat{ 10 & -18 \\ 3 & 5 } [/mm] umgeformt zu [mm] \pmat{ -5 & -9 \\ 0 & -2 }
[/mm]
... hier hab ich genau das gleiche problem...??
wär echt super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet, hab leider keine lösungen zu der aufgabe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Riley,
> Ich hab als erstes versucht die Abbildungsmatrix von f zu
> bestimmen:
> A [mm](e_i,e_i)[/mm] = [mm]\pmat{ 8 & 18 \\ -3 & -7 }[/mm]
> und dann das
> charakteristische Polynom ausgerechnet:
> det(1_2X-A) = [mm]\pmat{ (X-8) & -18 \\ 3 & X+7 }[/mm] =
> (X-8)(X+7)+18*3=X²-X-2=(X-1)(X+2)
> demnach müssten meine Eigenwerte ja dann [mm]X_1=1[/mm] und [mm]X_2=-2[/mm]
> sein.
> stimmt das soweit?
Nicht ganz.
[mm]x^2-x-2\not= (x-1)(x+2) [/mm]
aber
[mm]x^2-x-2=(x+1)(x-2)[/mm]
Der Rest sollte dann auch klappen!
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Riley |
ahh, vielen vielen dank!! ohne rechenfehler funktioniert es *freu*
als begründung, dass A diagonalisierbar ist, muss ich doch schreiben, dass die geometr.Vielfachheit=algebraische Vielfachheit und dass das charakteristische Polynom in linearfaktoren zerfällt, oder??
angenommen von der eine eigenwert hätte algebr.vielfachheit 2, aber der zugehörige eigenraum wäre nur 1dim. und bei dem andren wäre beides gleich, dann wäre die matrix nicht diagonalisierbar, oder ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> ahh, vielen vielen dank!! ohne rechenfehler funktioniert es
> *freu*
> als begründung, dass A diagonalisierbar ist, muss ich doch
> schreiben, dass die geometr.Vielfachheit=algebraische
> Vielfachheit und dass das charakteristische Polynom in
> linearfaktoren zerfällt, oder??
Genau.
> angenommen von der eine eigenwert hätte algebr.vielfachheit
> 2, aber der zugehörige eigenraum wäre nur 1dim. und bei dem
> andren wäre beides gleich, dann wäre die matrix nicht
> diagonalisierbar, oder ??
Exakt.
(Das siehst du z.B. daran, das wenn die Matrix diagonalisierbar ist, das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Dimensionen der Eigenraeume der diagonalisierten Matrix mit den gleichen Werten der urspruenglichen Matrix uebereinstimmen. Und bei einer diagonalisierten Matrix hast du immer, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfaellt und das die geometrische gleich der arithmetischen Vielfachheit ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Riley |
Hi felix!
vieeelen dank für deine erklärung! ;) mir ist grad noch was eingefallen, wenn ich zeigen soll, dass eine matrix trigonalisierbar ist, dann ist doch die einzige bedingung, dass das charakteristische polynom in linearfaktoren zerfällt, oder?
und ist nicht jede diagonalisierte auch eine trigonalisierte matrix??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo nochmal,
> vieeelen dank für deine erklärung! ;) mir ist grad noch
> was eingefallen, wenn ich zeigen soll, dass eine matrix
> trigonalisierbar ist, dann ist doch die einzige bedingung,
> dass das charakteristische polynom in linearfaktoren
> zerfällt, oder?
> und ist nicht jede diagonalisierte auch eine
> trigonalisierte matrix??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Beziehungsweise: Jede diagonalisierbare Matrix/lin. Abbildung ist auch trigonalisierbar.
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Riley |
okay, danke dir vielmals, dann hab ich das richtig abgespeichert ;))
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