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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Mi 31.10.2007 | | Autor: | jmeini |
| Aufgabe | | Sei V ein n-dimensionaler [mm] \IC-Vektorraum, [/mm] wobei n [mm] \ge [/mm] 1 ist. f: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass f einen Eigenvektor v [mm] \in [/mm] V besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?
Ich habe schon vieles versucht, aber bekomme irgendwie keinen vernünftigen Beweis.
Ich habe folgenderweise fortgefahren:
Sei 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] ker(f - [mm] \lambda [/mm] id) [mm] \gdw [/mm] (f - [mm] \lambda [/mm] id) = 0 [mm] \gdw [/mm]
f(v) - [mm] \lambda [/mm] v = 0 [mm] \gdw [/mm] f(v) = [mm] \lambda [/mm] v
Das gilt nur für v = 0 und wenn v ein Eigenveltor von f ist. Da v [mm] \not= [/mm] 0, folgt, dass v ein Eigenvektor von f ist.
Aber das ist bestimmt falsch, oder?
Vielen Dank
LG jmeini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen jmeini,
> Sei V ein n-dimensionaler [mm]\IC-Vektorraum,[/mm] wobei n [mm]\ge[/mm] 1
> ist. f: V [mm]\to[/mm] V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass f
> einen Eigenvektor v [mm]\in[/mm] V besitzt.
> Sei $0 [mm] \neq [/mm] v [mm] \in [/mm] ker(f - [mm] \lambda [/mm] id) [mm] \gdw [/mm] (f - [mm] \lambda [/mm] id) = 0 [mm] \gdw [/mm] f(v) - [mm] \lambda [/mm] v = 0 [mm] \gdw [/mm] f(v) = [mm] \lambda [/mm] v$
Du gibst dir bereits bei "Sei..." einen Eigenvektor vor, dessen Existenz du überhaupt erst zeigen sollst.
Auch die weiteren beiden Schlüsse sind nicht richtig.
Ich würde dir eine gute Nachhilfe empfehlen, um u.a. Beweisführung gründlich zu wiederholen.
Zur Beweisidee hier:
Betrachte die zu f gehörende Matrix. In [mm] $\IC$ [/mm] zerfällt ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren. Wir erhalten also mindestens eine Nullstelle und damit einen Eigenwert. Dazu gibt es natürlich auch einen Eigenvektor.
Gruß
Will
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