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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Di 11.08.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix [mm] A=\pmat{ -6 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 5 }
[/mm]
berechnen sie alle eigenwerte und eigenvektoren der matrix. |
hallo,
als eigenwerte bekomme ich [mm] \lambda_1= [/mm] -6 , [mm] \lambda_2=\lambda_3 [/mm] = 4,5 [mm] \pm \bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
das steht so auch in der lösung..
der eigenvektor zu [mm] \lambda_1 [/mm] ist [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
bis hier verstehe ich alles
nun kommen die eigenvektoren zu [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] hier sieht die matrix folgendermaßen aus:
zu [mm] \lambda_2:
[/mm]
[mm] \pmat{ -10,5 - \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{1 -\wurzel{5}}{2} }
[/mm]
mit der lösung [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 +\bruch{\wurzel{5}}{2}}
[/mm]
zu [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] \pmat{ -10,5 + \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 +\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{1 +\wurzel{5}}{2} }
[/mm]
mit der lösung [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 -\bruch{\wurzel{5}}{2}}
[/mm]
wenn ich das nachrechne komme ich aber auf [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
da doch [mm] x_3 [/mm] rausfällt aus der gleichung oder nicht?
ich steh mal wieder auf dem schlauch:(
danke für jede hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Gegeben ist die Matrix [mm]A=\pmat{ -6 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 5 }[/mm]
>
> berechnen sie alle eigenwerte und eigenvektoren der
> matrix.
> hallo,
> als eigenwerte bekomme ich [mm]\lambda_1=[/mm] -6 ,
> [mm]\lambda_2=\lambda_3[/mm] = 4,5 [mm]\pm \bruch{\wurzel{5}}{2}
}[/mm]
> das
> steht so auch in der lösung..
> der eigenvektor zu [mm]\lambda_1[/mm] ist [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> bis
> hier verstehe ich alles
okay,...
> nun kommen die eigenvektoren zu [mm]\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm]
> hier sieht die matrix folgendermaßen aus:
> zu [mm]\lambda_2:[/mm]
> [mm]\pmat{ -10,5 - \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{1 -\wurzel{5}}{2} }[/mm]
>
> mit der lösung [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 +\bruch{\wurzel{5}}{2}}[/mm]
[mm] \lambda_2= 4,5+\bruch{\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Was du nun berechnen musst, ist
[mm] Kern(\pmat{ -10,5 - \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{1 -\wurzel{5}}{2} })
[/mm]
3. Zeile multipliziert mit [mm] \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2}:
[/mm]
[mm] =Kern(\pmat{ -10,5 - \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 })
[/mm]
[mm] =Kern(\pmat{ -10,5 - \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 &0 & 0 })
[/mm]
[mm] =\{\vektor{0 \\ 1 \\\red{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}}}\} [/mm] Der von dir angegebene Eigenvektor ist nicht ganz korrekt - beachte: Die 1 steht im Zähler des Bruches!)
> zu [mm]\lambda_3[/mm]
> [mm]\pmat{ -10,5 + \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 +\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{1 +\wurzel{5}}{2} }[/mm]
>
> mit der lösung [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 -\bruch{\wurzel{5}}{2}}[/mm]
Versuch's auch hier mal mit [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ \red{\bruch{1 -\wurzel{5}}{2}}}
[/mm]
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 11.08.2009 | | Autor: | cracker |
hm, was bedeutet kern? hab das schon mal gesehen irgendwo, aber ich finds nicht mehr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 11.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
zum einen gibt es das Bild und zum anderen den Kern. Sei A eine Matrix, dann ist der Kern(A), die Menge aller Vektoren x für die gilt [mm] A\cdot{x}=0.
[/mm]
Bedeutet also speziell hier:
$ [mm] Kern\pmat{ -10,5 - \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{1 -\wurzel{5}}{2} }$ [/mm] ist gleichbedeutend mit:
[mm] \pmat{ -10,5 - \bruch{\wurzel{5}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{-1 -\wurzel{5}}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{1 -\wurzel{5}}{2} }*x=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}\gdw{x=$ =\vektor{0 \\ 1 \\\red{\bruch{1+\wurzel{5}}{2}}}}
[/mm]
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Di 11.08.2009 | | Autor: | cracker |
Achso, okay dann hab ich das verstanden..
vielen lieben dank!
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