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Hallo!
Ich häng wieder einmal fest:
Sei $(V, [mm] \sigma)$ [/mm] ein euklidischer Raum und $h : V [mm] \to [/mm] V$ orthogonal.
Zu zeigen für $v [mm] \not= [/mm] 0$ und [mm] $\lambda \in \IR$: [/mm]
$h(v) = [mm] \lambda [/mm] v [mm] \Rightarrow \lambda \in \{ 1, -1 \} [/mm] $
Man habe eine orthogonale Abbildungsmatrix, diese wird auf einen Vektor angewandt. Falls das Ergebnis gleich der Multiplikation einer Zahl mit dem Vektor ist, dann kann diese Zahl (das sind dann wohl die Eigenvektoren) nur $ [mm] \pm [/mm] 1$ sein. Offensichtlich ist die einzige Abbildungsmatrix, die das erfüllen kann, die Einheitsmatrix bzw. die negative EM. Aber wie beweise ich das am Besten?
Ich würde mich über eure Hilfe freuen,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo MrElgusive!
Das ist ganz einfach:
Da $h$ orthogonal ist, gilt: [mm] $\Vert h(v)\Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] v [mm] \Vert$.
[/mm]
Damit folgt:
[mm] $\Vert [/mm] v [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] h(v) [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert \lambda [/mm] v [mm] \Vert [/mm] = [mm] |\lambda|\cdot \Vert [/mm] v [mm] \Vert$.
[/mm]
Wegen [mm] $v\ne [/mm] 0$ gilt:
[mm] $|\lambda|=1$,
[/mm]
also:
[mm] $\lambda \in \{-1,1\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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