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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenvektoren
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Eigenvektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Di 25.10.2011
Autor: al3pou

Aufgabe
Berechnen Sie drei linear unabhängige Eigenvektore [mm] c_{1}, c_{2}, c_{3} [/mm] von A

A = [mm] \pmat{ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm]

Also ich habe über das charakteristische Polynom drei Eigenwerte ausgerechnet (1; -2; 3). Dann habe ich das Gaußsche Eliminationsverfahren angewandt um auf die Eigenvektoren zu kommen, aber ich stelle mich anscheinend doof an.

Für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 kommt raus [mm] \vec{c_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm]

[mm] \pmat{ -2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm]


für [mm] \lambda_{2} [/mm] = -2 kommt raus [mm] \vec{c_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 } [/mm]

und für  [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 komme ich auf kein Ergebnis

[mm] \pmat{ -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }. [/mm]

Die drei Matritzen sind jeweils [mm] (A-\lambda [/mm] E).

        
Bezug
Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Di 25.10.2011
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!
Deine Eigenwerte sind allesamt richtig, jedoch ist der Nullvektor niemals ein Eigenvektor(wird in der Definition des Eigenvektors gefordert).
Poste doch mal deine Rechnung,damit wir den Fehler findne können.
Also für [mm] \lambda=1 [/mm] muss man ja folgendes lösen:
$ [mm] \pmat{ -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $ [mm] *\vektor{x \\ y \\ z}=0 [/mm]

Also, versuch es nochmal und poste deine Rechnung.

Gruß

theBozz-mismo

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Bezug
Eigenvektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Di 25.10.2011
Autor: al3pou

Okay, ich habe das so gemacht (du meinst damit bestimmt für [mm] \lambda [/mm] = 3 :-))
Also ich mache das mal für [mm] \lambda [/mm] = 1

  -2   2   1  |  0
   1  -1   2  |  0
   0   0   2  |  0

-> z = 0

z in die zweite Gleichung ergibt x = y und das in die erste Gleichung ergibt x = 0.

Bezug
                        
Bezug
Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Di 25.10.2011
Autor: Schadowmaster

moin al3pou,

es ist nicht  [mm] $(A-\lambda*E)$, [/mm] es muss [mm] $(\lambda*E [/mm] - A)$ sein (da das char. Polynom normiert sein muss).
Versuch es nochmal so rum. ;)


lg

Schadow

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Eigenvektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Di 25.10.2011
Autor: TheBozz-mismo

Hallo Schadow!
> moin al3pou,
>  
> es ist nicht  [mm](A-\lambda*E)[/mm], es muss [mm](\lambda*E - A)[/mm] sein
> (da das char. Polynom normiert sein muss).
>  Versuch es nochmal so rum. ;)
>  
>
> lg
>  
> Schadow

Ist das wirklich so? Mir ist der Unterschied schon klar, jedoch habe ich immer gedacht, dass es für die Berechnung der Eigenvektoren und Eigenwerte keine Rolle spielt, ob das charakteristische Polxnom normiert ist oder nicht.
Für [mm] \lambda=1 [/mm] würde ich es so berechnen:
[mm] (A-I)=\pmat{ -2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm]
Die 3. Koordinate muss Null sein. Also bleibt noch:
1. -2x+2y=0
2. x-y=0
Aus 1. folgt x=y und aus 2. folgt auch x=y, also ist zum Beispiel [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ein Eigenvektor.

Gruß

TheBozz-mismo

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Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Di 25.10.2011
Autor: Schadowmaster

$Ax = [mm] \lambda*x \gdw [/mm] Ax - [mm] \lambda*x [/mm] = 0 [mm] \gdw (A-\lambda*E)*x [/mm] = 0 => [mm] Det(A-\lambda*E) [/mm] = 0$

Hmm, könnte also sogar sein, dass es auch so rum passt, ja.^^
Ich würde dir aber raten es dir gleich normiert anzugewöhnen, denn man kann es später noch für viele andere lustige Sachen außer Eigenwerte benutzen, und da ist es unter Umständen doch wichtig, dass es normiert ist.

Ich lass die Frage mal halb offen, damit noch motivierte und wache Leute nach Rechenfehlern suchen können. ;)

Bezug
                                                
Bezug
Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Di 25.10.2011
Autor: TheBozz-mismo

Danke für deine Antwort.
Also "normiert"(bei Polynomen) ist mir bis jetzt nur beim Minimalpolynom begegnet, aber es gibt bestimmt noch viele andere Anwendungen dafür.

gruß

TheBozz-mismo

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Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:14 Mi 26.10.2011
Autor: fred97


> moin al3pou,
>  
> es ist nicht  [mm](A-\lambda*E)[/mm], es muss [mm](\lambda*E - A)[/mm] sein
> (da das char. Polynom normiert sein muss).


Streiche jedes "muss". Ob [mm](A-\lambda*E)[/mm] oder  [mm](\lambda*E - A)[/mm] ist Jacke wie Hose

FRED


>  Versuch es nochmal so rum. ;)
>  
>
> lg
>  
> Schadow


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