Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Di 07.08.2012 | | Autor: | Norton |
| Aufgabe | Hallo ich komme gerade bei einer Aufgabe nicht weiter.
Parameter s,t bezeichne A(s,t) die Matrix
(
1 0 2 s
0 1 1 t
0 0 2 1
0 0 2 3
a) Bestimmen sie die Eigenwerte von A ( s,t )
b) Geben sie für den kleinsten Eigenwert von A (1 , 1 ) also für s =t=1 eine Basis des zugehörigen Eigenunterraumes an.Entscheiden sie , ob A(1,1 ) diagonalähnlich ist.
c) Bestimmen sie alle Parameter s,t für die A ( s,t) diagonalähnlich ist.
Ansatz:
Ich habe die Eigenwerte lambda = 2 lamda 2 = 1 und lambda 3 = 1 raus.
Sind diese Eigenwerte richtig?
Und kann mir jemand sagen wie ich bei der b vorgehen muss bitte. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Norton,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
die Matrix
[mm]A(s,t)=\begin{pmatrix}1&0&2&s\\
0&1&1&t\\
0&0&2&1\\
0&0&2&3\end{pmatrix}[/mm]
hat zum einen vier Eigenwerte und zum anderen ist 2 kein Eigenwert. Zeig doch mal deine Rechnung dazu, dann können wir schauen, wo der Fehler liegt.
Für Teilaufgabe b) musst du zum kleinsten Eigenwert von [mm]A(1,1)[/mm] zunächst die Eigenvektoren bestimmen. (Zur Kontrolle: der kleinste Eigenwert ist hier 1)
Für den von den Eigenvektoren aufgespannten Raum musst du dann eine Basis finden.
Und Schließlich sollst du angeben, ob [mm]A(1,1)[/mm] diagonalähnlich, d.h. ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Oder anders: ist [mm]A(s,t)[/mm] diagonalisierbar?
Übrigens: wenn du auf eine Formel klickst, siehst du, was du dazu eingeben musst.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Norton |
Hier ist meine rechnung:
( 1 - lambda)*( 1 - lambda) * ( 2 - lambda )* ( 3 - lambda)
= [mm] -lambda^3 [/mm] + [mm] 4lambda^2 [/mm] - 5lambda + 2
Vorzeichen umgedreht:
= [mm] lambda^3 [/mm] - [mm] 4lambda^2 [/mm] + 5lambda - 2
erste nullstelle gesucht : bei lambda = 1
Polynomdivision:
[mm] lambda^3 [/mm] - [mm] 4lambda^2 [/mm] + 5lambda - 2 / ( lambda - 1) = [mm] lambda^2 [/mm] - 3lambda +2
Dann pq Formel:
Eigenwerte 2 und 1 rausbekommen.
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo,
du machst dir das Leben unnötig schwer, wenn du das ganze (falsche) charakteristische Polynom ausmultiplizierst. Versuche es auf möglichst einfache Weise als Linearfaktoren aufzuschreiben (das geht schneller und ist schöner zu lösen).
Geh wie folgt vor:
Schreib [mm] (A-\lamba\mathrm{Id}) [/mm] auf, dann bestimme die Determinante (und überleg dir genau nach welcher Zeile du entwickelst, schlau wäre hier wohl die letzte...) und bedenke die Vorzeichen bei der Entwicklung (1. Zeile + - + ...; 2. Zeile - + - ... usw. das weißt du denke ich ohenhin)
Du wirst einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 3 und einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 1 erhalten, keiner davon ist 2.
LG
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Hallo,
> Hier ist meine rechnung:
>
[mm] p(\lambda)=
[/mm]
> ( 1 - [mm] \lambda)*( [/mm] 1 - [mm] \lambda) [/mm] * ( 2 - [mm] \lambda [/mm] )* ( 3 - [mm] \lambda)
[/mm]
Mal angenommen, das wäre richtig: dann würde man doch sofort sehen, daß die Nullstellen bei 1,2 und 3 sind.
Es ist aber
[mm] det$\begin{pmatrix}1-x&0&2&s\\ 0&1-x&1&t\\ 0&0&2-x&1\\ 0&0&2&3-x\end{pmatrix} [/mm] $=(1-x)*(1-x)*[(2-x)(3-x)-2*1]
Du siehst sofort, daß 1 eine Nullstelle ist, nun finde noch die Nullstellen der eckigen Klammer heraus.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Norton |
Aber kann mir bitte jemand trotzdem sagen wo der Fehler in meiner Rechnung liegt.
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Hallo Norton,
> Aber kann mir bitte jemand trotzdem sagen wo der Fehler in
> meiner Rechnung liegt.
Dein post legt den Verdacht nahe, dass du die Antworten, die du bekommst, nicht (aufmerksam) liest ...
Angela hat dich schon darauf hingewiesen, dass dein charakteristisches Polynom falsch ist.
Du hast vermutlich bei der Anwendung von Sarrus den Summanden [mm]-2(1-\lambda)[/mm] vergessen. Beachte dies und dann eine korrekte Klammerung ...
Lies nochmal Angelas Antwort; dort steht das korrekte char. Polynom.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Norton |
Ich verstehe nicht warum da noch eine 2 kommt. Wenn man die diagonale mit der 2 nimmt , dann ist ja auch eine 0 dabei .
Und das ergibt dann 0 oder .
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> Ich verstehe nicht warum da noch eine 2 kommt. Wenn man die
> diagonale mit der 2 nimmt , dann ist ja auch eine 0 dabei
> .
>
> Und das ergibt dann 0 oder .
Hallo,
Du solltest uns vielleicht mal verraten, nach welcher Regel Du die Determinante von
[mm] \begin{pmatrix}1-x&0&2&s\\
0&1-x&1&t\\
0&0&2-x&1\\
0&0&2&3-x\end{pmatrix} [/mm]
berechnest.
Du darfst keine selbsterdachten Regeln nehmen...
Von welcher Diagonalen redest Du?
Es ist (Entwicklung nach der 1. Spalte)
det[mm] \begin{pmatrix}1-x&0&2&s\\
0&1-x&1&t\\
0&0&2-x&1\\
0&0&2&3-x\end{pmatrix} [/mm] =(1-x)*det[mm] \begin{pmatrix}1-x&1&t\\
0&2-x&1\\
0&2&3-x\end{pmatrix} [/mm]
Die Determinante der [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix kann man nun mit der Regel von Sarrus berechnen, oder man entwickelt auch hier nach der 1.Spalte.
Wenn wir Deinen Fehler sagen sollen, mußt Du mal kleinschrittig vormachen, was Du tust.
LG Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Norton |
Ok ich rechne einfach mit euch zusammen , dnn könnt ihr mir direkt sagen was ich falsch mache.
Hier mein ansatz: Ich mache direkt nach deiner rechnung Angela weiter:
( 1 -x )* (1 - x) * ( 2 - x ) * (3-x) - 2*(1 - x)
Soll ich das jetzt ausmultiplizieren und dann bekomme ich das Polynom oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mi 08.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich rechne einfach mit euch zusammen , dnn könnt ihr
> mir direkt sagen was ich falsch mache.
>
> Hier mein ansatz: Ich mache direkt nach deiner rechnung
> Angela weiter:
>
> ( 1 -x )* (1 - x) * ( 2 - x ) * (3-x) - 2*(1 - x)
Das hast Du nicht richtig ! Angela hatte:
(1-x)*(1-x)*[(2-x)(3-x)-2*1]
Weiter: (1-x)*(1-x)*[(2-x)(3-x)-2*1] [mm] =(1-x)^2[x^2-5x+4]
[/mm]
Ich wiederhole was Angela gesagt hat: Die Nullstelle 1 kannst Du ablesen. Die witeren Nullstellen bekommst Du aus [mm] x^2-5x+4=0
[/mm]
FRED
>
> Soll ich das jetzt ausmultiplizieren und dann bekomme ich
> das Polynom oder wie?
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> Ok ich rechne einfach mit euch zusammen , dnn könnt ihr
> mir direkt sagen was ich falsch mache.
Hallo,
ja, so dachte ich mir das.
>
> Hier mein ansatz: Ich mache direkt nach deiner rechnung
> Angela weiter:
Ich hatte geschrieben:
det[mm] \begin{pmatrix}1-x&0&2&s\\
0&1-x&1&t\\
0&0&2-x&1\\
0&0&2&3-x\end{pmatrix} [/mm] =(1-x)*det[mm] \begin{pmatrix}1-x&1&t\\
0&2-x&1\\
0&2&3-x\end{pmatrix} [/mm]
Wenn Du nun die [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix mit Sarrus berechnest, bekommst Du
...=
>
> ( 1 -x )* [mm] \red{[} [/mm] (1 - x) * ( 2 - x ) * (3-x) - 2*(1 - [mm] x)\red{]}
[/mm]
Die Klammern sind wichtig!
Noch nicht ausmultiplizieren, sondern erstmal noch den Faktor (1-x) aus der Klammer rausziehen. Das ergibt
...=( 1 -x )*(1-x)* [mm] \red{[}( [/mm] 2 - x ) * (3-x) - [mm] 2\red{]}
[/mm]
>
> Soll ich das jetzt ausmultiplizieren und dann bekomme ich
> das Polynom oder wie?
Die Nullstelle 1 kannst Du in dieser Form sofort ablesen, ausmultiplizieren würde das Gewinnen der Nullstellen viel schwieriger machen.
Nun bestimme noch die Nullstellen des Polynoms in der Klammer.
Multipliziere dazu (nur das Innere der Klammer!) aus und löse die quadratische Gleichung.
Schreibst Du anschließend die Klammer noch faktorisiert hin, hast Du das charakteristische Polynom in der Darstellung als Produkt von Linearfaktoren. Weiter ausmultiplizieren mußt Du dann nicht. Man macht bloß Fehler dabei und gewinnt nichts.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Norton |
Warum hat man eigentlich das (> > Ok ich rechne einfach mit euch zusammen , dnn könnt ihr
> > mir direkt sagen was ich falsch mache.
>
> Hallo,
>
> ja, so dachte ich mir das.
>
> >
> > Hier mein ansatz: Ich mache direkt nach deiner rechnung
> > Angela weiter:
>
> Ich hatte geschrieben:
>
> det[mm] \begin{pmatrix}1-x&0&2&s\\
0&1-x&1&t\\
0&0&2-x&1\\
0&0&2&3-x\end{pmatrix}[/mm]
> =(1-x)*det[mm] \begin{pmatrix}1-x&1&t\\
0&2-x&1\\
0&2&3-x\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn Du nun die [mm]3\times[/mm] 3-Matrix mit Sarrus berechnest,
> bekommst Du
> ...=
> >
> > ( 1 -x )* [mm]\red{[}[/mm] (1 - x) * ( 2 - x ) * (3-x) - 2*(1 -
> [mm]x)\red{]}[/mm]
>
> Die Klammern sind wichtig!
>
> Noch nicht ausmultiplizieren, sondern erstmal noch den
> Faktor (1-x) aus der Klammer rausziehen. Das ergibt
>
> ...=( 1 -x )*(1-x)* [mm]\red{[}([/mm] 2 - x ) * (3-x) - [mm]2\red{]}[/mm]
> >
> > Soll ich das jetzt ausmultiplizieren und dann bekomme ich
> > das Polynom oder wie?
>
> Die Nullstelle 1 kannst Du in dieser Form sofort ablesen,
> ausmultiplizieren würde das Gewinnen der Nullstellen viel
> schwieriger machen.
>
> Nun bestimme noch die Nullstellen des Polynoms in der
> Klammer.
> Multipliziere dazu (nur das Innere der Klammer!) aus und
> löse die quadratische Gleichung.
> Schreibst Du anschließend die Klammer noch faktorisiert
> hin, hast Du das charakteristische Polynom in der
> Darstellung als Produkt von Linearfaktoren. Weiter
> ausmultiplizieren mußt Du dann nicht. Man macht bloß
> Fehler dabei und gewinnt nichts.
>
> LG Angela
>
Erst einmal danke Angela. Jetzt habe ich gemerkt was ich dauernd falsch gemacht habe . Warum hat man eigentlich das ( 1-x) aus der inneren Klammer rausgeholt ?
Aber ich poste schon mal meine weitere Rechnung:
Innere Klammer : [( 2-x )*(3-x)-2) ]
= 6 -2x -3x [mm] +x^2 [/mm] -2 = [mm] x^2 [/mm] -5x +4
Oh man ich hoffe hab wieder nichts falsch gemacht .
Krieg die 4 und 1 raus nach der pq Formel.
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> > det[mm] \begin{pmatrix}1-x&0&2&s\\
0&1-x&1&t\\
0&0&2-x&1\\
0&0&2&3-x\end{pmatrix}[/mm]
> > =(1-x)*det[mm] \begin{pmatrix}1-x&1&t\\
0&2-x&1\\
0&2&3-x\end{pmatrix}[/mm]
=
> > > ( 1 -x )* [mm]\red{[}[/mm] (1 - x) * ( 2 - x ) * (3-x) - 2*(1 - [mm]x)\red{]}[/mm]
> > ...=( 1 -x )*(1-x)* [mm]\red{[}([/mm] 2 - x ) * (3-x) - [mm]2\red{]}[/mm]
> Erst einmal danke Angela. Jetzt habe ich gemerkt was ich
> dauernd falsch gemacht habe .
Hallo,
das ist doch schonmal gut.
> Warum hat man eigentlich das
> ( 1-x) aus der inneren Klammer rausgeholt ?
Weil es in der roten Klammer in jedem Faktor vorkommt, kann man es rausholen.
Dann muß man sich nämlich nur noch mit einem quadratischen Polynom bbeschäftigen - und das haben wir alle bereits in der Mittelstufe gelernt.
>
> Aber ich poste schon mal meine weitere Rechnung:
>
> Innere Klammer : [( 2-x )*(3-x)-2) ]
>
> = 6 -2x -3x [mm]+x^2[/mm] -2 = [mm]x^2[/mm] -5x +4
>
> Oh man ich hoffe hab wieder nichts falsch gemacht .
>
> Krieg die 4 und 1 raus nach der pq Formel.
Genau, das sind die Lösungen von [mm] 0=x^2-5x+4.
[/mm]
Du weißt nun, daß Du das charakteristische Polynom schreiben kannst als
[mm] p(x)=(1-x)(1-x)\red{(1-x)(4-x)}=(1-x)^3(4-x)=(x-1)^3(x-4)
[/mm]
Das Rote weißt Du aus der Lösung der quadratischen Gleichung.
Du siehst: die 1 ist ein dreifacher Eigenwert und 4 ein einfacher.
Und nun kann es endlich weitergehen.
In b) mußt Du nun eine Basis des Kerns von A(1,1)-1*E bestimmen.
Dies ist dann eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1.
LG Angela
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 08.08.2012 | | Autor: | Norton |
Ich glaube du musst mir noch ein wenig genauer erklären wie ich bei der b)
vorgehen muss , weil ich habe das nicht so richtig verstanden.
Bitte hilft mir daher. Dieses thema macht mir viel probleme.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mi 08.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube du musst mir noch ein wenig genauer erklären
> wie ich bei der b)
> vorgehen muss , weil ich habe das nicht so richtig
> verstanden.
> Bitte hilft mir daher. Dieses thema macht mir viel
> probleme.
Bestimmen sollst Du die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
A(1,1)x-x=0
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Norton |
>
> > > det[mm] \begin{pmatrix}1-x&0&2&s\\
0&1-x&1&t\\
0&0&2-x&1\\
0&0&2&3-x\end{pmatrix}[/mm]
> > > =(1-x)*det[mm] \begin{pmatrix}1-x&1&t\\
0&2-x&1\\
0&2&3-x\end{pmatrix}[/mm]
> =
> > > > ( 1 -x )* [mm]\red{[}[/mm] (1 - x) * ( 2 - x ) * (3-x) - 2*(1
> - [mm]x)\red{]}[/mm]
>
> > > ...=( 1 -x )*(1-x)* [mm]\red{[}([/mm] 2 - x ) * (3-x) - [mm]2\red{]}[/mm]
>
> > Erst einmal danke Angela. Jetzt habe ich gemerkt was ich
> > dauernd falsch gemacht habe .
>
> Hallo,
>
> das ist doch schonmal gut.
>
>
> > Warum hat man eigentlich das
> > ( 1-x) aus der inneren Klammer rausgeholt ?
>
> Weil es in der roten Klammer in jedem Faktor vorkommt, kann
> man es rausholen.
> Dann muß man sich nämlich nur noch mit einem
> quadratischen Polynom bbeschäftigen - und das haben wir
> alle bereits in der Mittelstufe gelernt.
>
> >
> > Aber ich poste schon mal meine weitere Rechnung:
> >
> > Innere Klammer : [( 2-x )*(3-x)-2) ]
> >
> > = 6 -2x -3x [mm]+x^2[/mm] -2 = [mm]x^2[/mm] -5x +4
> >
> > Oh man ich hoffe hab wieder nichts falsch gemacht .
> >
> > Krieg die 4 und 1 raus nach der pq Formel.
>
> Genau, das sind die Lösungen von [mm]0=x^2-5x+4.[/mm]
>
> Du weißt nun, daß Du das charakteristische Polynom
> schreiben kannst als
> [mm]p(x)=(1-x)(1-x)\red{(1-x)(4-x)}=(1-x)^3(4-x)=(x-1)^3(x-4)[/mm]
>
> Das Rote weißt Du aus der Lösung der quadratischen
> Gleichung.
> Du siehst: die 1 ist ein dreifacher Eigenwert und 4 ein
> einfacher.
>
>
> Und nun kann es endlich weitergehen.
>
> In b) mußt Du nun eine Basis des Kerns von A(1,1)-1*E
> bestimmen.
> Dies ist dann eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1.
>
> LG Angela
> >
> >
> >
>
Ich habe mal eine frage , kann man das eigentlich immer machen beim berechnen von eigenwerten ,
das man zuerst einmal nach z.b der ersten Spalte entwickelt und dann einfach sarrus anwendet oder muss man normalerweise wieder die Matrix enwickeln bis eine 2x2 übrig bleibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 So 09.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
kann man immer, wenn nur noch 3 mal 3 matrizen bleiben.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Norton |
Ich hab immer noch leider nicht richtig verstanden wie man die eigenwerte rausbekommt.
Ich habs mal selber versucht bekomme aber nicht das richtige raus:
Ich hab zuerst nach der ersten spalte entwickelt und dann sarrus angewendet:
(1-x) *[(1-x)*(2-x)*(3-x)] - [2*(1-x) ]
Wenn man sich die Klammern betrachtet erkennt man doch das die eigenwerte bei:
1 , 2 und 3 liegen.
Stimmt es so?
Oder muss ich jetzt alles ausmultiplizieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 So 09.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, wenn man die Klammern betrachtet, kommt 2 und 3 nicht raus!, weil z.B. x-3 ja nicht Faktor vom Ganzen ist. setz einfach zur probe 2 und 3 ein, und du siehstm dass nicht 0 rauskommt.
wenn dir schon angela das ganz genau vormacht, dann mach es halt 3 mal nach, dann keg es wegm und dann versuchs alleine!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 So 09.09.2012 | | Autor: | Norton |
Wie kriege ich dann genau die Eigenwerte raus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 So 09.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies doch wirklich mal alles nach, das steht da schon mehrfach in dem thread. lies die vielen geduldigen posts von Angela nochmal langsam. mach dir Notizen dazu, nimm dir Zeit, für jeden post von angela mindestens! 20 min.
Gruss leduart
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