Eigenvektoren Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Mi 02.02.2005 | | Autor: | muli |
Hallo Ich habe hier einen beweis versucht und würde gern mal wissen ob man das so machen kann oder ob das alles schrott ist was ich hier gemacht habe:
Also die Aufgabe ist folgende:
Es sei V ein K-Vektorraum und f,g: V->V Endomorphismen.Beweisen oder Wiederlegen sie folgende Aussage:
Ist v [mm] \in [/mm] V ein Eigenvektor von f und g dann ist v auch ein Eigenvektor von f+g
Mein Beweis:
aus der Vorraussetzung folgt f(v) [mm] =\lambda [/mm] v=g(v) mit v [mm] \in [/mm] V
Da V ein Vektorraum folgt daraus v+v [mm] \in [/mm] V
setze a,b [mm] \in [/mm] V mit a=b und a+b = V
ich weiss das f und g Homomorph daraus folgt:
[mm] \lambda [/mm] v =f(v)=g(v)= f(a+b)= f(a)+f(b)= f(a)+ g(b)= f(a)+ g(a) q.e.d.
Das wars ich hoffe ihr könnt mir sagen ob das so geht oder auch nicht!!
muli
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Mi 02.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich antworte auch mal...
Folgende Probleme sehe ich bei deinem Beweis:
> Mein Beweis:
> aus der Vorraussetzung folgt f(v) [mm]=\lambda[/mm] v=g(v) mit v
> [mm]\in[/mm] V
Nein, es steht nicht da, dass es Eigenvektoren zum selben Eigenwert sein müssen. Damit ist der gesamte Beweis natürlich nicht richtig..
> Da V ein Vektorraum folgt daraus v+v [mm]\in[/mm] V
> setze a,b [mm]\in[/mm] V mit a=b und a+b = V
a+b=v ?!? das ist ein wenig problematisch - ich weiß gar nicht, ob das allgemein geht...
Es geht jedoch einfacher:
es gilt $ (f+g)(v)=f(v)+g(v) $ (das wird normaler Weise im Skript definiert o.ä.)
also : $ (f+g)(v)=f(v)+g(v) = [mm] \lambda_1 [/mm] *v [mm] +\lambda_2 [/mm] *v = [mm] (\lambda_1 +\lambda_2 [/mm] )*v $
und damit ist v wieder Eigenvektor...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mi 02.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Vorsicht, da sind einige Fallen dabei...
erstens, heisst es nur, dass v zufälligerweise Eigenvektor von f und g ist, das bedeutet noch lange nicht, dass die Eigenwerte gleich sind (was sie auch im Allgemeinen dann auch nicht sind!).
Also
$f(v) = [mm] \lambda{v}$ [/mm] und
$g(v) [mm] =\gamma{v}$
[/mm]
für die entsprechenden Matrizen (A für f und B für g) sähen die Gleichungen dann wie folgt aus:
[mm] $(A-\lambda{Id})v [/mm] = 0$
[mm] $(B-\gamma{Id})v [/mm] = 0$
addiert man diese erhält man:
[mm] $((A+B)-(\lambda+\gamma)Id)v=0$
[/mm]
also wird [mm] $\lambda+\gamma$ [/mm] Eigenwert zu $A+B$ mit Eigenvektor v.
Wie sieht es weiter mit f und g aus?
[mm] $f(v)+g(v)=\lambda{v}+\gamma{v} [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \gamma)v [/mm] = (f+g)(v)$ ??? gilt dies und wenn: warum?
Fragen über Fragen, hoffe, es hilft dir weiter und hoffentlich hab ich nicht nur Unsinn erzählt - Fakt ist, dass du deinen Beweis ein wenig überarbeiten musst ;)
Gruß, Patrick
|
|
|
|
