Eigenvektoren Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mo 07.11.2011 | | Autor: | guslus |
Hallo an alle,
Ich habe folgendes Problem.
Ich habe die Matrix
-8 5 -4
A= 5 -5 3
16 -11 8
Diese soll auf die Jordanische Normalform J=S^-1*A*S gebracht werden.
Ich habe jetzt die Eigenwerte Lamda 1-3 ausgerechnet:
Lamda1=Lamda2= -2
Lamda3= -1
Leider finde ich keinen passenden Eigenvektor zu den Lamdawerten. Gibt es da einen Trick?
Vielen Dank.
MfG
guslus
Ich habe diese Frage in folgendem Forum gestellt:
http://www.gutefrage.net/frage/eigenvektorproblem-jordanform
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Es gibt nicht nur einen Trick, es gibt sogar einen Algorithmus!
Eigenvektorberechnung ist fast nichts anderes wie Kernvektorberechnung.
z.B. Eigenvektorberechnung zum EW. -1:
[mm] Eig_{-1}=Ker(A+E)=
[/mm]
[mm] ker\pmat{ -7 & 5 & -4 \\ 5 & -4 & 3 \\ 16 & -11 & 9 }
[/mm]
Zeile 3 minus 3 mal Zeile 2 ergibt
[mm] ker\pmat{ -7 & 5 & -4 \\ 5 & -4 & 3 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Zeile 1 plus 7 mal zeile 3 und zeile 2 minus 5 mal zeile 3 ergibt
[mm] ker\pmat{ 0 & 12 & -4 \\ 0 & -9 & 3 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
zeile 1 durch 4 und zeile 2 durch -3 ergibt
[mm] ker\pmat{ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
zeile 1 minus zeile 2 ergibt
[mm] ker\pmat{ 0 & 0& 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Ein Kernvektor (a , b , c) hat nun die Eigenschaft:
a=-b und b=3c, also ist ein Kernvektor
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
was einem Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert -1 entspricht.
Beim Anderen Eigenwert kommt was ekligeres heraus, nämlich z.B.
[mm] \vektor {-3\\ 2\\7 }. [/mm] Für die Jordannormalform musst du noch einen Hauptvektor finden.
Google mal "Kochen mit Jordan". Da gibts eine komplette Algorithmusbeschreibung.
Gruß, Harris
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