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| Aufgabe | Berechnen Sie die Matrix-Exponentialfunktion exp(At) von der Matrix
[mm] A=\begin{pmatrix}
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7
\end{pmatrix}
[/mm]
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Huhu,
an obiger Aufgabe hänge ich ganz schön. Eigentlich ist es ja Analysis, aber mein Problem liegt eher beim Berechnen der Eigenvektoren, daher dieses Forum.
Zuerst habe ich die Eigenwerte berechnet
[mm] \begin{pmatrix}
7-\gamma & 7 & 7 \\
7 & 7-\gamma & 7 \\
7 & 7 & 7-\gamma
\end{pmatrix}
[/mm]
Da kommt raus [mm] \gamma_0=0, \gamma_1=0, \gamma_2=21.
[/mm]
Frage:Kann ich hier die 7 erstmal aus der Matrix rausziehen, damit ich in der Matrix nur Einsen habe, von der Einser-Matrix die Eigenwerte berechnen und die dann nachher mit 7 multiplizieren? Hier passt es, aber kann ja auch Zufall sein...
OK, dann weiter, als nächstes die Eigenvektoren.
Für [mm] \gamma_2=21 [/mm] habe ich [mm] \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} [/mm] raus, dürfte auch stimmen.
Für [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_0=0 [/mm] habe ich auch die Gleichung
[mm] \begin{pmatrix}
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
[/mm]
gelöst und bin damit auf das Endschema
1 1 1 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
gekommen, was ja bedeutet, dass y sowie z frei gewählt sein können (die erste 1 in der ersten Zeile hatte ich ausgezeichnet).
Ergo beomme ich
[mm] \alpha(\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}
-1\\
0 \\
1
\end{pmatrix}
[/mm]
Die beiden Vektoren passen auch als Eigenvektoren.
Frage: Kann ich da immer so vorgehen, wenn ich zweimal die gleichen Eigenwerte habe? Oder gibt es da sogar noch einen einfacheren Weg, wie ich schneller an zwei Eigenvektoren für den Eigenwert komme - wenn es sich um einen doppelten Eigenwert handelt?
Schnief, ich will nicht nochmal durch die Analysis 2 Prüfung fallen, nur weil ich bei irgendwelchen Algeba-Sachen hängen bleibe, wie das letzte Mal :-( Analysis 2 alles kapiert, aber beim Rechnen hapert's - und da wir keinen Taschenrechner nutzen dürfen und es auch keine Folgefehler gibt....... seufz.
Danke euch schonmal,
Silver
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Berechnen Sie die Matrix-Exponentialfunktion exp(At) von
> der Matrix
> [mm]A=\begin{pmatrix}
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Huhu,
>
> an obiger Aufgabe hänge ich ganz schön. Eigentlich ist es
> ja Analysis, aber mein Problem liegt eher beim Berechnen
> der Eigenvektoren, daher dieses Forum.
>
> Zuerst habe ich die Eigenwerte berechnet
>
> [mm]\begin{pmatrix}
7-\gamma & 7 & 7 \\
7 & 7-\gamma & 7 \\
7 & 7 & 7-\gamma
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Da kommt raus [mm]\gamma_0=0, \gamma_1=0, \gamma_2=21.[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Frage:Kann ich hier die 7 erstmal aus der Matrix
> rausziehen, damit ich in der Matrix nur Einsen habe, von
> der Einser-Matrix die Eigenwerte berechnen und die dann
> nachher mit 7 multiplizieren? Hier passt es, aber kann ja
> auch Zufall sein...
Ja, kann man, und ist natürlich kein Zufall, denn, das einzige was Dich interessiert sind ja Nullstellen eines Polynoms, was Du gemacht hast ist folgendes (die Matrix heiße nun mal a, und [mm] $\chi_a$ [/mm] sei das char. Poly.):
[mm] $\chi_a(\gamma)=\det(a-\gamma e)=7^n\det\left(1/7a-\gamma/7 \cdot e\right)=\underbrace{7^n\chi_{1/7a}\left(\gamma/7\right)}_{=:p(\gamma)}$
[/mm]
Der letzte Ausdruck ist natürlich auch wieder ein Polynom in [mm] $\gamma$, [/mm] und es ist aus dieser Darstellung ersichtlich, daß sich die Nullstellen von $p$ und [mm] $\chi_a$ [/mm] nur um einen Faktor 7 unterscheiden können.
>
> OK, dann weiter, als nächstes die Eigenvektoren.
>
> Für [mm]\gamma_2=21[/mm] habe ich [mm]\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}[/mm] raus, dürfte auch stimmen.
>
> Für [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_0=0[/mm] habe ich auch die Gleichung
>
> [mm]\begin{pmatrix}
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7 \\
7 & 7 & 7
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> gelöst und bin damit auf das Endschema
>
> 1 1 1 | 0
> 0 0 0 | 0
> 0 0 0 | 0
>
> gekommen, was ja bedeutet, dass y sowie z frei gewählt sein
> können (die erste 1 in der ersten Zeile hatte ich
> ausgezeichnet).
>
> Ergo beomme ich
>
> [mm]\alpha(\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}
-1\\
0 \\
1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Die beiden Vektoren passen auch als Eigenvektoren.
>
> Frage: Kann ich da immer so vorgehen, wenn ich zweimal die
> gleichen Eigenwerte habe? Oder gibt es da sogar noch einen
> einfacheren Weg, wie ich schneller an zwei Eigenvektoren
> für den Eigenwert komme - wenn es sich um einen doppelten
> Eigenwert handelt?
Nein, das ist schon genau richtig so, wie Du das gemacht hast.
> Schnief, ich will nicht nochmal durch die Analysis 2
> Prüfung fallen, nur weil ich bei irgendwelchen
> Algeba-Sachen hängen bleibe, wie das letzte Mal :-(
> Analysis 2 alles kapiert, aber beim Rechnen hapert's - und
> da wir keinen Taschenrechner nutzen dürfen und es auch
> keine Folgefehler gibt....... seufz.
Kopf hoch, das schaffst Du schon!
Gruß,
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Sa 26.08.2006 | | Autor: | Silverblue |
Klasse, danke dir  ))))
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